DOC.
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FOUNDATION OF GENERAL RELATIVITY
297
782
A.
Einstein.
[(7)
bzw.
(5)].
Beide Gebilde
sind Tensoren
im
Sinne
der
obigen allgemeinen
Bemerkung;
hierin
liegt
ihre
Bedeutung.
Im
Anschluß
an.
Ricci und
Levi-Civita
wird der kontra-
variante
Charakter durch
oberen,
der kovariante
durch
unteren
Index
bezeichnet.
[13]
§
6.
Tensoren
zweiten und höheren
Ranges.
Kontravarianter Tensor. Bilden wir sämtliche.
16
Produkte
Auv
der
Komponenten
Au
und
Bv
zweier
kontravarianten
Vierervektoren
(8)
Auv
=
Au
Bv,
so
erfüllt
Auv
gemäß
(8)
und
(5a)
das
Transformationsgesetz
(9)
_
Ox0 ox,
Ox~.
Wir
nennen
ein
Ding,
das
bezüglich
eines
jeden Bezugs-
systems
durch
16
Größen
(Funktionen)
beschrieben
wird,
die
das
Transformationsgesetz
(9)
erfüllen,
einen
kontravarianten
Tensor zweiten
Ranges.
Nicht
jeder
solcher Tensor
läßt
sich
gemäß
(8) aus
zwei
Vierervektoren
bilden. Aber
es
ist
leicht
zu
beweisen,
daß
sich
16
beliebig gegebene
Auv
darstellen
lassen als die Summe der
Au Bv
von
vier
geeignet gewählten
Paaren
von
Vierervektoren.
Deshalb kann
man
beinahe alle
Sätze,
die für den durch
(9)
definierten
Tensor zweiten
Ranges
gelten,
am
einfachsten
dadurch
beweisen,
daß
man
sie
für
spezielle
Tensoren
vom
Typus
(8)
dartut.
Kontravarianter
Tensor
beliebigen
Ranges.
Es
ist
klar,
daß
man
entsprechend
(8)
und
(9)
auch
kontravariante
Tensoren
dritten
und
höheren
Ranges
definieren kann
mit
43
usw.
Komponenten.
Ebenso erhellt
aus
(8)
und
(9),
daß
man
in
diesem Sinne den
kontravarianten
Vierervektor
als
kontra-
varianten
Tensor
ersten
Ranges
auffassen
kann.
Kovarianter
Tensor. Bildet
man
andererseits
die 16
Pro-
dukte
Auv
der
Komponenten
zweier kovarianter Vierervektoren
Au
und
Bn
(10)
Auv+AuBv,
so
gilt
fur
diese
das
Transformationsgesetz
(11)
Aur'
=
dxu/dxa'
dxv/dxr'
Auv.