DOC.
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ENERGY CONSERVATION 69
Einstein: Der
Energiesatz
in der
allgemeinen
Relativitätstheorie
Dabei
läuft
453
x1
=
d1
zwischen
0
und
x
x2
= d2
zwischen
0
und
x
x3
=
d3
zwischen
0
und
2x
x4
=
t zwischen
-oo
und
+
00
(8)
An
den Grenzen
fur
d1
und fur
d2
verhält
sich
das-Koordinatensystem
singulär;
denn
es
schneiden sich
in derartigen Punkten
mehr
als
4
(00 viele)
Koordinatenlinien,
und
es
verschwindet dort die Determinante
|gur|.
Eine
analoge
Koordinatenwahl
wird
(bei
entsprechend
abge-
ändertem Ausdruck für
ds2)
auch im Falle
der
quasi-sphärischen
Welt
möglich
sein; auch hier werden
wir
auf
die
genannten singu-
lären Orte
des
Koordinatensystems
zu
achten haben.
In allen
Punkten
außerhalb der
singulären
Stellen
des
Koordinatensystems
werden die
Gleichungen
(1)
gelten.
Es
wird
auch ein
Ubergang
zu
den
Integral-
gesetzen
(3)
möglich sein,
wenn
das
Integral
über
dU12-dx1
+
du25-dx2
+
dU35-dx3
verschwindet
(»Randbedingung«).
Dies wäre
z.
B.
der
Fall,
wenn
U11, U12,
U13,
U14,
für
31 =
0
und
31 =
ir
U21,
U22, U23,
U24
für
D2
=
0
und
32 =
x
(9)
verschwinden1. Denn
es
verschwinden
bei
der
Integration
von (1)
über
x1, x2,
x3
über den
ganzen geschlossenen
Raum in diesem Falle
alle Anteile
der
linken
Seite,
außer
denjenigen,
welche
von
dem Gliede
dU40/dx4
herkommen.
Wie
oben,
läßt
sich auch
hier
beweisen,
daß
die
Jr für
alle
Koordinatensysteme
den
gleichen
Wert haben,
welche
durch
stetige
Deformation
aus
dem
zuerst
benutzten
zu
gewinnen
sind.
Der Beweis
ist dem
oben
geführten analog, nur
daß die
Bedingung
für
die
Ko-
ordinatenwahl
außerhalb
B
hier
kein
Analogon
hat. Für
eine
ge-
schlossene
Welt
vom
sphärischen Zusammenhangstypus
sind die
J2.
unabhängig
von
der
besonderen Koordinatenwahl,
wenn
nur
die »Rand-
bedingung« gewahrt
bleibt2.
Es
läßt
sich
dann
beweisen,
daß
die
»Impuls-Komponenten«
J2,
J2,
J3
für
eine
derartige
geschlossene
Welt
notwendig
verschwinden.
1
Näheres hierüber
folgt im
§
4.
2
Exakt liefert hier die
Überlegung
des
§
2
folgendes Ergebnis.
Sind K und
K' zwei
Koordinatensysteme,
x4
=
konst, und
x'4 =
konst, zwei
zu
diesen
gehörige
räumliche
Schnitte,
Jr und
J'r
die
zu
diesen
gehörigen
Werte
von
Jr,
so
sind Jr
und
J'r stets
einander
gleich, wenn
es
zwischen
K und K'
einen die
Randbedingung
wahrenden
stetigen Übergang
gibt.