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Transformation herrscht. Die Lorentz-Transformation ist eine euklidische Trans-
formation im vier-dimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum, falls man sich der imagi-
nären Zeitkoordinate
bedient.[31]
Die formalen Qualitäten, welche die Naturgesetze aufweisen müssen, um
gegenüber den rein räumlichen Transformationen (9) kovariant zu sein, hat die
Geometrie und Physik längst auf anschaulichem Wege in der Theorie der Vektoren
abgeleitet. Eine sinngemässe Übertragung jener formalen Bildungen auf das Vier-
dimensionale liefert jene Gebilde und Gleichungen, welche gegenüber den verall-
gemeinerten Lorentz-Transformationen (10) kovariant sind. Indem Minkowski
dies erkannte, vereinfachte er die Anwendung der speziellen Relativitätstheorie
ausserordentlich. Durch seine Methode ist man imstande, Gleichungssystemen
direkt anzusehen, ob sie der Relativitätsforderung entsprechen, ohne dass man an
denselben erst eine Transformation vornehmen müsste.
Es ist aber hervorzuheben, dass die Gleichwertigkeit der Zeitkoordinate mit
den räumlichen Koordinaten nur eine formale, keine physikalische ist,
wie aus dem Gesagten deutlich hervorgeht.
Das ganze begriffliche System der euklidischen Geometrie lässt sich darauf auf-
bauen, dass—wie aus (9) ersichtlich ist—das räumliche Abstandsquadrat
. . . (11)
eine von der Koordinatenwahl unabhängige Grösse ist, wobei ds eine mit dem
Massstab messbare Grösse ist. In ganz entsprechender Weise ist es für die spezielle
Relativitätstheorie von fundamentaler Bedeutung, dass die mittelst Massstäben und
Uhren messbare Grösse
. . . (12)
eine von der Koordinatenwahl (soweit diese frei ist) unabhängige Grösse ist.
ist die Fundamental-Invariante des Systems und wird der formalen Aehnlichkeit
mit der Fundamental-Invariante ds der euklidischen Geometrie wegen als Elemen-
tarabstand benachbarter Punkte des Raum-Zeit-Kontinums bezeichnet.
Weil aber imaginär ist, also negativ, gibt es abgesehen von der Dimen-
sionszahl einen tief liegenden formalen Unterschied zwischen der Invariante ds der
euklidischen Geometrie und der Invariante dσ der speziellen Relativitätstheorie.
ist nämlich immer positiv, wenn die beiden benachbarten Raupunkte P und
zu welchen ds gehört, nicht zusammenfallen. Sind aber P und raum-zeitlich be-
nachbarte Punkt-Ereignisse („Weltpunkte“ in Minkowski’s Bezeichnungsweise),
so sind bezüglich ihrer relativen Lage drei von der Wahl des Koordinatenssystems
unabhängige Möglichkeiten zu unterscheiden:
x4
x1, x2, x3
ds2
dx1
2
dx2
2
dx3
2
+ + =
[p. 19]
dσ2 dx1 2 dx2 2 dx3 2 dx4 2 + + + =
dσ
x4 dx4 2
ds2 P′,
P′