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allgemeine Bedingung, welcher alle geometrischen und physikalischen Relationen
genügen müssen.ñ
Die euklidischen Transformationen, welche nach dem Gesagten für den Bau der
geometrischen und physikalischen Relationen von massgebender Bedeutung sind,
lassen sich aber am einfachsten durch folgende Bedingung charakterisieren. Eukli-
dische Transformationen sind solche, welche der Gleichung
. . . (9)
(identisch) Genüge leisten. Geometrisch drückt diese Relation aus, dass sich das
Quadrat des (mit dem Einheitsmassstab gemessenen) Abstandes zwischen zwei
einander unendlich nahen Raumpunkten in beiden Koordinatensystemen in glei-
cher Weise durch die Koordinaten-Differenzen ausdrückt, und zwar mit Hilfe des
Pythagoreischen Satzes.[29] Dieser Abstand ist eine vom Koordinatensystem unab-
hängige Grösse, eine „Invariante“, sein Quadrat die „Fundamental-Invariante der
euklidischen Transformationen“.
In der Geometrie und Physik, speziell in der Vektorentheorie wird gelehrt, wie
Gleichungssysteme gebildet sein müssen, damit sie euklidischen Transformationen
gegenüber kovariant seien.
Wir kehren nun wieder zur speziellen Relativitätstheorie zurück. Gemäss letzte-
rer müssen—wie wir gesehen haben—die Naturgesetze derart gestaltet sein, dass
sie den Lorentz-Transformationen gegenüber kovariant sind (Mathematischer Aus-
druck des speziellen Relativitätsprinzips). Diese Transformationen sind aber ihrer-
seits dadurch allgemein charakterisiert, dass sie der Gleichung
. . . (6a)
identisch Genüge leisten.
Die Aehnlichkeit dieser Bedingung mit derjenigen (9), welcher die euklidischen
Transformationen genügen, springt sofort in die Augen. Sie wird noch vollkomme-
ner, wenn man statt der Zeitkoordinate t die imaginäre Koordinate einführt.
Ersetzt man demgemäss die Koordinaten x, y, z, t durch die Koordinaten
, indem man setzt
so geht (6a) über
in[30]
. . . (10)
Dies ist die formal einfachste Bedingung, durch welche die verallgemeinerte
Lorentz-Transformation gekennzeichnet werden kann.
Vergleicht man (10) mit (9) so erkennt man die vollständige mathematische
Analogie, welche zwischen der Lorentz-Transformation und der euklidischen
dx1
2
dx2
2
dx3
2
+ + dx1
′2
dx2
′2
dx3
′2
+ + =
dx2 dy2 dz2 c2dt2 – + + dx′2 dy′2 dz′2 –c2dt′2 + + =
[p. 18]
–1ct
x1, x2, x3, x4
x x1 = y x2 = z x3 =
–1ct x4 , =
dx1 2 dx2 2 dx3 2 dx4 2 + + + dx1 ′2 dx2 ′2 dx3 ′ dx4 ′2 + + + =