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Weg für die Bestimmung der 40 unbekannten Funktionen zeigte. ¢Dies Pro-
blem² Wie ich diese Lücke auszufüllen
suchte[6]
soll im Folgenden kurz dargelegt
werden.
Es sei eine skalare Dichte, die nur von den abhängt. Dann liefert das Ha-
miltonsche Prinzip
(5)
40 Differentialgleichungen für die Γ, wenn man festsetzt, das bei der Variation die
Grössen Γ als von einander unabhängige Grössen behandelt werden. Wir nehmen
ferner an, dass nur von den und abhänge, setzen also
(6)
wobei gesetzt ist
(7)
Es sei gleich hier bemerkt, dass in der hier entwickelten Theorie die kontrava-
riante Dichte des metrischen Tensors, die kontravariante Tensordichte des ¢me-
trischen² elektromagnetischen Feldes ist. Damit ist in bekannter Weise der Über-
gang von Tensordichten zu kontravarianten und kovarianten Tensoren gegeben und
eine Metrik eingeführt, welche sich ausschliesslich auf den affinen Zusammenhang
stützt.
Durch Ausführung der Variation erhält man nach einiger Rechnung
(8)
wobei
(9)
gesetzt ist. Die Gleichung (8) zeigt, dass unsere scheinbar so allgemeiner Ansatz
zu einer Struktur des affinen Zusammenhanges führt, welche von derjenigen der
Riemannschen Geometrie nicht stärker abweicht, als es die thatsächliche Struktur
des physikalischen Feldes verlangt.
Die Feldgleichungen erhalten wir nun auf folgendem Wege. Aus (3) und (4) ent-
nehmen wir zunächst die Relationen
Γμν α
H Γμν α
³Hdτ
¯ ¿
¾
­ ½
δ® 0 =
H γμν ϕμν
δH gμνδγμν fμνδϕμν + =
∂H
∂γμν
---------- - gμν =
∂H
∂ϕμν
----------- - fμν =
¿
°
°
¾
°
°
½
gμν
fμν
Γμν
1
2
--gαβ© -
∂gμβ
∂xν
-----------
∂gνβ
∂xμ
-----------
∂gμν·
∂xβ
-----------¹ –+
§
1
2
--gμνiα -
1
6
--δμ - αiν
1
6
--δν - αiμ… + + =
∂fμν
∂xν
----------

=
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