D O C . 1 2 2 T H E A F F I N E F I E L D T H E O R Y 197 … (10) … (11) In diesen Gleichungen sind auf der rechten Seite die vermöge (8) durch die und auszudrücken ist ferner bekannt, so lassen sich auf Grund von (7) auch und , d.h. die linken Seiten von (10) und (11) durch und aus- drücken. Diese letztere Berechnung lässt sich durch folgenden Kunstgriff vereinfa- chen. Die Gleichung (4) ist äquivalent mit der Aussage, dass auch … (6a) ein vollständiges Differential ist, sodass, wenn eine unbekannte Funktion der und ist, die Relationen bestehen (7a) Nun haben wir nur noch anzunehmen. Die einfachste Möglichkeit ist offenbar … (12) Dabei ist interessant, dass diese Funktion nicht aus mehreren logisch voneinander unabhängigen Summanden besteht, wie dies bei den bisherigen Theorien der Fall war. Man gelangt so zu den Feldgleichungen … (13) wobei der Riemannsche Krümmungstensor ist. κ und γ sind Konstante, ist das elektromagnetische Potential, welches mit der Feldstärke durch die Relation … (14) mit der elektrischen Stromdichte durch die Relation … (15) verbunden ist. γμν ∂Γμν α ∂xα ------------ – Γμβ α Γμα β 1 2© --§ - ∂Γμα α ∂xν ------------ - ∂Γνα α ∂xμ ------------· + ¹ Γμν α Γα β – + + = ϕμν 1 2© --§ - ∂Γμα α ∂xν ------------ - ∂Γνα α ∂xμ ------------·. – ¹ = Γμν α gμν fμν H γμν ϕμν gμν fμν H∗ δ γμνδ gμν ϕμνδfμν + = H∗ gμν fμν γμν ∂H∗ ∂gμν ---------- -= ϕμν ∂H∗ ∂fμν ----------. = H∗ H∗ β 2 --fμνfμν - –= Rμν κ 1 4 --gμνfστfστ - fμσfνσ¹ – © § · γfμfν + –= Rμν fμ fμν ∂fμ ∂xν ------- - ∂fν ∂xμ --------, –= iμ γgμσfσ –=