D O C . 1 2 2 T H E A F F I N E F I E L D T H E O R Y 197
(10)
(11)
In diesen Gleichungen sind auf der rechten Seite die vermöge (8) durch die
und auszudrücken; ist ferner bekannt, so lassen sich auf Grund von (7)
auch und , d.h. die linken Seiten von (10) und (11) durch und aus-
drücken. Diese letztere Berechnung lässt sich durch folgenden Kunstgriff vereinfa-
chen. Die Gleichung (4) ist äquivalent mit der Aussage, dass auch
(6a)
ein vollständiges Differential ist, sodass, wenn eine unbekannte Funktion der
und ist, die Relationen bestehen
(7a)
Nun haben wir nur noch anzunehmen. Die einfachste Möglichkeit ist offenbar
(12)
Dabei ist interessant, dass diese Funktion nicht aus mehreren logisch voneinander
unabhängigen Summanden besteht, wie dies bei den bisherigen Theorien der Fall
war.
Man gelangt so zu den Feldgleichungen
(13)
wobei der Riemannsche Krümmungstensor ist. κ und γ sind Konstante, ist
das elektromagnetische Potential, welches mit der Feldstärke durch die Relation
(14)
mit der elektrischen Stromdichte durch die Relation
(15)
verbunden ist.
γμν
∂Γμν
α
∂xα
------------ Γμβ α Γμα β
1

--§
-
∂Γμα
α
∂xν
------------ -
∂Γνα
α
∂xμ
------------·
+
¹
Γμν α Γα β + + =
ϕμν
1

--§
-
∂Γμα α
∂xν
------------ -
∂Γνα α
∂xμ
------------·.

¹
=
Γμν α
gμν fμν H
γμν ϕμν gμν fμν
H∗
δ
γμνδ
gμν
ϕμνδfμν
+ =
H∗
gμν fμν
γμν
∂H∗
∂gμν
---------- -=
ϕμν
∂H∗
∂fμν
----------. =
H∗
H∗
β
2
--fμνfμν - –=
Rμν κ
1
4
--gμνfστfστ - fμσfνσ¹
©
§ ·
γfμfν + –=
Rμν
fμν
∂fμ
∂xν
------- -
∂fν
∂xμ
--------, –=
γgμσfσ
–=
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