7 3 4 D O C U M E N T 5 2 1 U N I F I E D F I E L D T H E O R Y zu berechnen ist (über den Index s wird summiert), wobei die „Lokal-kompo- nenten“ des Vektors sind, A dessen Betrag ist. Derartige Lokalkomponenten wer- den im Folgenden stets durch einen lateinischen Index bezeichnet im Gegensatz zu den „gewöhnlichen“ Komponenten, welche mit Bezug auf das allgemeine Gausssche Koordinatensystem in bekannter Weise gebildet definiert sind Die letztere erhalten stets griechische Indizes. In einem Riemannschen Kontinuum ist das lokale Koordinatensystem nur bis auf eine beliebige Drehungs-Transformation (lineare orthogonale Transformation) bestimmt, sodass die Orientiers des Lokalsystems in jedem Punkte noch frei ge- wählt werden kann. Wir nehmen nun an, dass das Kontinuum noch eine zweite Struktur-Eigenschaft besitze. Es seien nämlich P und Q zwei in endlicher Distanz befindliche Punkte des Kontinuums. Unter allen in P entspringenden Vektoren (A) und allen in Q entsprin- genden Vektoren (B) soll eine Beziehung eindeutigen gegenseitigen Entsprechens stattfinden: einem bestimmten Vektor (A) entspricht ein bestimmter Vektor (B) und diesem letzteren der erstere. Zwei solche Vektoren nenne wir „parallel“ (obwohl in diesem Wort hier im Gegensatz zum Sprachge[b] auch eine Grössenbeziehung ein- geschlossen zu denken ist). Zwischen der metrischen Struktur und der Parallelstruktur des Kontinuums soll die Beziehung bestehen: Parallele Vektoren sind metrisch gleich. Hieraus ergibt sich dann leicht der Satz, dass der Winkel zwischen zwei in P errichteten Vektoren gleich ist dem Winkel zwischen den ihnen parallelen, in Q errichteten Vektoren. Hieraus folgt weiter. Hat man das orthogonale Lokalsystem in einem Punkte P bezüglich seiner Orientierung frei gewählt, so ist das Lokalsystem in jedem ande- ren Punkte Q dadurch die Festsetzung völlig festgelegt bestimmbar und völlig bestimmt, dass entsprechend Axen—Einheitsvektoren einander parallel sein sol- len. Diese Festsetzung wollen wir ein für allemal treffen. Dann gilt der Satz: Par- allele Vektoren haben gleiche Lokalkomponenten. Es ist für die hier zugrunde gelegte Raumstruktur charakteristis[ch,] dass die Lo- kalsysteme (lokalen orthogonalen „n-Beine“) noch einer beliebige[n] aber allen gemeinsamen Drehungstra... unterworfen werden dürfen. Die Struktur des Raumes definiert also in einem Raumpunkte P keineswegs n bevorzugte Rich- tungen.[6] Die von uns ins Auge gefasste Doppel-Struktur des Kontinuums kann offenbar, dadurch vollständig beschrieben werden, dass man die auf das Gausssche Koordi- natensystem bezogenen Komponenten der Beine Index a des orthogonalen A s [p. 4] h a 