326
DOC.
13 GENERALIZED THEORY OF
RELATIVITY
Definition
der Tensoren 25
[51]
Wir
definieren
nun:
I.
Der Inbegriff eines
Systems
von
Funktionen
Ti1i2...iy
der
Variabeln
x
heiße ein
kovarianter Tensor
vom
Range
X,
wenn
diese Größen sich transformieren
gemäß
den Formeln
(6)
T
ri rv
• •
r;
=
^
Pi,
rx Pi%
r2
**
Pi.
r?
'
»i
»2
• • •
II.
Der Inbegriff eines
Systems
von
Funktionen
0i1i2...ix
der Variabeln
x
heiße ein
kontravarianter Tensor
vom
Range
Xr
wenn
diese
Größen sich transformieren
gemäß
den Formeln
(7) &r
r ... r
=
'S1
7t- 7t.
r . .
.
71-
r
.1)J
\ / rl r2 rj tlr1 i^rr
ixtt
t
?i
'a
• • *
'/
III.
Der
Inbegriffeines
Systems
von
Funktionen
Ei1i2...iu/k1k2...kv
der Variabeln
x
heiße ein
gemischter Tensor,
kovariant
vom
Range
u,
kontravariant
vom
Range
v,
wenn
diese Größen sich
transformieren nach
den
Formeln
(8)
2
n r2•
• rf(/sl
S1"
SV~
Pixr,Pi*r2
* • • r/t
'
7tkl
tx%kx
V%ky
sy' ^/ilia*
*
*i^kxk*••
*/
t'i
ia...
ijj
itj
Arj
•
• • Är^,
Aus diesen Definitionen und den
Gleichungen (4)
und
(5) folgt:
Die Größen
guv
bilden einen
kovarianten,
die
Größen
ruv
einen
kontravarianten Tensor zweiten
Ranges,
die
Fundamentaltensoren
des Gravitationsfeldes
im
Falle
n
=
4.
Die Größen
dxi
bilden nach
Gleichung (3)
einen
kontravarianten
Tensor ersten
Ranges.
Tensoren ersten
Ranges
nennt
man
auch Vek-
toren erster
Art oder Vierervektoren bei
n
=
4.
Unmittelbar
aus
der
Definition
der Tensoren
ergeben
sich
die fol-
genden
algebraischen Tensoroperationen:
1.
Die
Summe zweier
gleichartiger
Tensoren
vom Range
X
ist wieder
ein
gleichartiger
Tensor
vom
Range
X,
dessen
Komponenten
durch Addition der
entsprechenden Komponenten
beider Tensoren ent-
stehen.
1)
Unsere
kovarianten
(kontravarianten)
Tensoren
vom
Range
X
sind
also
iden-
tisch mit
den "kovarianten (kontravarianten)
Systemen
Xter
Ordnung"
von
Ricci
und Levi-Civita und werden
von
diesen Autoren
bezeichnet mit
Xr1r2...rx
bzw.
Xr1r2...rl.
So
viele
Vorteile
diese
letztere
Bezeichnung
auch
bietet,
so
haben
uns
doch
Komplikationen
in
zusammengesetzteren
Gleichungen gezwungen,
die
obigen
Bezeichnungen
zu
wählen,
also
kovariante
Tensoren mit
lateinischen,
kontravari-
ante mit
griechischen, gemischte
mit deutschen Buchstaben
zu
bezeichnen.
Kovari-
ante
und kontravariante Tensoren sind besondere Fälle der
gemischten
Tensoren.
[52]