DOC.
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GENERALIZED THEORY OF RELATIVITY
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Divergenz
ein kovarianter Tensor
vom Range
X
+
1,
der
aus
dem kovarianten
Tensor
vom
Range
X
hervorgeht.
Ricci
und
Levi-Civita
nennen
die
Differentialoperation
der
rechten
Seite dieser
Gleichung
die
"kovariante
Differentiation" des
Tensors
Tr1r2...rx.
Hierbei bedeutet
[58]
(17)
t
(18)
rrn
i
fiürt
i
Ö9st
dgr
^
LiJ
=
^läsr
+
{rst}
und
{rsu}
sind
die
Christoffelschen
Drei-Indizes-Symbole
erster
bzw.
zweiter
Art;
durch
Auflösung
der
Gleichungen (17)
findet
man
(19)
["]-^..|7)-1)
Führt
man
in die
Gleichung (16) an
Stelle
der kovarianten Ten-
soren
die
zu
ihnen
reziproken
kontravarianten Tensoren
ein, so
erhält
man
als
"kontravariante Erweiterung"
(20)
ZK
*
ri ri-
II.
Als
Divergenz
eines kovarianten
(kontravarianten)
Tensors
vom
Range
X
bezeichnen wir den kovarianten (kontra-
varianten)
Tensor
vom
Range
x
-
1,
der durch
innere Multi-
plikation der
Erweiterung
mit dem kontravarianten
(kova-
rianten) Fundamentaltensor entsteht.
Somit ist die
Divergenz
des
kovarianten Tensors
Tr1r2...ry
der Tensor
(21)
Tr^r3...rx==
^Ysr^ryr^l
Sri
und
die
Divergenz
des
kontravarianten Tensors
Or1r2...r2
ist der Tensor
(22)
©r1rä...r(i=Är1©r1...r/iJ-
Sri.
Die
Divergenz
eines Tensors
geht
nicht
eindeutig
aus
diesem
hervor;
das
Resultat
ändert sich
im
allgemeinen,
wenn man
in
den
Gleichungen
(21)
und
(22)
r1
durch einen der Indizes
r2,
r3...rA
ersetzt.
III.
Als
verallgemeinerte Laplacesche
Operation
an
einem Ten-
sor
bezeichnen wir die
Aufeinanderfolge
der
Erweiterung
und
der
Divergenz.
Die
verallgemeinerte Laplacesche Operation
läßt daher
aus
einem Tensor
einen
gleichartigen
gleichen
Ranges hervorgehen.
Von besonderem Interesse sind
die
Fälle
X
=
0,
1,
2.
1)
Auf Grund dieser Formeln
beweist
man
leicht,
daß
die Erweiterung
des
Fundamentaltensors identisch verschwindet.