DOC. 17 PROBLEM OF GRAVITATION
495
Physik.
Zeitschr.
XIV,
1913.
Einstein,
Gravitationsproblem. 1257
[38]
[41]
[39]
[40]
&ov g
gup
&uv
einführen. Es
ergibt
sich dann
d_
11
l
v
i-g-
V
T
22j
üx"
7"rXr"
firc
(5c)
wobei
yur
die durch
g
dividierte Unterdetermi-
nante
zu
gir
bedeutet.
Die
physikalische
Be-
deutung
der Größen
Tav geht
aus
folgendem
Schema hervor:
E11 E12
E13 E14
E21 E22 E23
E24
E31 E32
E33 E34
E41 E42
E43
E44
Xx
Xy
Xz ix
Yx
Yy
Yz iy
Zx
Zy
Zz iz
fx
fy
fz n,
wobei
die auf der rechten Seite
angegebenen
Beziehungen
dieselbe
Bedeutung
haben
wie in
§
3.
Die
rechte Seite
von (5c)
drückt den
vom
Gravitationsfeld
pro
Volumen- und Zeiteinheit
abgegebenen Impuls
(d
=
1 - 3)
bzw.
die
ab-
gegebene Energie
(rf
=
4)
aus.
Die
Gleichungen
(5b)
und
(5c)
haben ohne
Zweifel
eine
Bedeutung,
die
weit
über den Fall
der betrachteten
Strömung
inkohärenter Massen
hinausgeht; sie
drücken wahrscheinlich
überhaupt
die
Impuls-
und
Energiebilanz zwischen
einem
physikalischen Vorgange
und dem Schwerefelde
aus.
Nur sind für
jedes
besonders
physikalische
Gebiet die Größen
Omv
und
Imv
in
besonderer
Weise auszudrücken.
§
6.
Bemerkungen über die mathe-
matische Methode.
In der skizzierten Theorie kann die
gewöhn-
liche vierdimensionale Vektoren- und Tensoren-
theorie keine
Anwendung
finden, weil
2dxv2
nach ihr keine Invariante
ist. Die
fundamentale
Invariante,
welche wir
als
Betrag
des Linien-
elementes bezeichnet
haben,
ist vielmehr
ds2
=
2guvdxu dxv.
Es ist aber die Theorie der Kovarianten einer
solchen durch
ihr Linienelement definierten
vier-
dimensionalen
Mannigfaltigkeit unter
dem Namen
"absoluter
Differentialkalkül" bereits entwickelt
worden,
und
zwar
insbesondere durch Ricci
und
Levi-Civita1),
welche Autoren sich
haupt-
sächlich auf eine
grundlegende
Arbeit
von
Christoffel2)
stützten,
her. Eine übersicht-
liche Darstellung
der
wichtigsten
Sätze findet
man
in
dem
von
Herrn Großmann verfaßten
Teile
unserer
zitierten Arbeit.
Man unterscheidet
in
dieser Theorie mehrere
Arten
von
Tensoren,
nämlich
kovariante,
kontra-
variante
und
gemischte Tensoren,
für welche
1)
Ricci
u.
Levi-Civitä,
Methodes de
calcul diffe-
rentiel
absolu
et
leurs applications. Math.
Ann. 54,
125,
1900.
2)
Christoffel,
Uber
Transformation der
homogenen
Differentialausdrücke
zweiten
Ranges.
Journ. f.
Math. 70,
46, 1869.
ähnliche
algebraische Gesetze gelten,
wie in dem
allgemein
bekannten
Falle,
der durch
das
eukli-
dische Linienelement charakterisiert
ist.
Auch
Differentialoperationen,
die
-
an
Tensoren
aus-
geführt
-
wieder Tensoren
liefern,
sind auf-
gestellt worden,
so
daß sich
zu
den
algebraischen
und
Differentialbeziehungen
der
gewöhnlichen
Vektoren- und Tensorentheorie die
entsprechen-
den für den Fall des
allgemeineren
Linien-
elements
angeben
lassen.
Es
sei bemerkt,
daß
dxv die
vte Kompo-
nente
eines kontravarianten Tensors
1. Ranges
(d.
h.
mit einem
Index)
ist.
gmv
bzw.
Ymv
sind
die
Komponenten
eines kovarianten
bzw.
kontra-
varianten Tensors
2.
Ranges,
den
wir
seiner
Bedeutung
für das Linienelement
wegen
"Funda-
mentaltensor"
nennen. Qmv
ist
ein kontra-
varianter Tensor zweiten
Ranges,
1/-g
Eav
ein
gemischter
Tensor
zweiten
Ranges.
Gleichung (5b)
drückt das Verschwinden der
"Divergenz"
des Tensors
Omv aus.
Hieraus
geht
hervor,
daß
Gleichung (5b) bezüglich beliebiger
Substitutionen kovariant
ist,
was
natürlich auch
vom
physikalischen Standpunkt
aus
gefordert
werden muß.
Indem
man
die
Gleichungen
der Relativitäts-
theorie mittels des absoluten Differentialkalküls
durch die
entsprechenden Gleichungen
ersetzt,
erhält
man
Gleichungssysteme,
die dem Einfluß
des Gravitationsfeldes auf das behandelte
Er-
scheinungsgebiet Rechnung tragen. Diese
Auf-
gabe ist
für die
elektromagnetischen
Vorgänge
im
Vakuum
von
Kottler1) bereits
gelöst
worden.
Aus dem
Gesagten geht hervor,
daß die
Frage
nach dem
Einfluß des
Gravitationsfeldes
auf
beliebige physikalische Vorgänge
im
Prinzip
befriedigend gelöst ist,
und
zwar
derart, daß
die betreffenden
Gleichungen
beliebigen
Sub-
stitutionen
gegenüber
kovariant
sind. Die
Raum-
zeitkoordinaten sinken dabei
zu an
sich bedeu-
tungslosen,
willkürlich wählbaren Hilfsvariabeln
herab.
Das
ganze
Problem der Gravitation
wäre
also
befriedigend
gelöst, wenn es
auch
gelänge,
bezüglich beliebiger Substitutionen ko-
variante
Gleichungen
zu
finden,
welchen die
das Gravitationsfeld selbst bestimmenden
Größen
gmv
genügen.
In
dieser Weise
gelang
es uns
aber
nicht,
das Problem
zu lösen2).
Die Lösung
gelang
aber in der
Weise,
daß
nachträglich
wieder das
Bezugssysten spezialisiert
wurde.
Zu
diesem
Wege gelangt
man
ungezwungen
durch
folgende Überlegung.
Es
ist
klar,
daß für
irgend–
1)
Kottler, Über die Raumzeitlinien der Minkowski-
schen Welt. Wien. Ber.
121, 1912.
[42]
2) In den letzten
Tagen
fand ich den Beweis
dafur,
daß
eine
derartige allgemein
kovariante Lösung überhaupt
nicht
existieren
kann.
[43]