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DOC.
1
MANUSCRIPT
ON
SPECIAL RELATIVITY
(Uuv)
durch
den im
vorigen
§
eingeführten speziellen
Tensor
(S^uv)
ersetzt
wird. Dann erhält
man
8nv
=
W
y
=
I
Vv
=
I^
|IV
\L
Die Summe der
Hauptdiagonal-Komponenten
eines Tensors zweiten
Ranges
ist also ein
Skalar.[98]
Ein anderer
Spezialfall
ist
der,
dass die Tensoren
(Tuv)
und
(Uuv)
einander
gleich
sind. Man erhält
(V (v
-
(V)
^
=
X^V
Die Summe der
Quadrate
aller
Komponenten
eines Tensors ist
also
stets
ein
Skalar;
dieser Satz
gilt
für
Tensoren
beliebigen Ranges.
Man
kann den
so er-
haltenen Skalar
als
den
"Betrag"
des
Tensors bezeichnen.
Gemischte
Multiplikation.
Die beiden bisher
genannten Multiplikationsarten
von
Tensoren sind
Spe-
zialfälle einer
allgemeineren Multiplikationsart,
die ebenfalls
aus
zwei
Ten-
soren
einen dritten Tensor liefert. Die
Multiplikation
kann
nämlich
bezüglich
gewisser
Tensorindizes eine
innere,
bezüglich
der
übrigen
eine
äussere
sein.
Wir
geben
diese
allgemeinste Multiplikationsregel
ohne
Beweis, da
letzterer
nur
eine Kombination der beiden
angegebenen
Beweise
ist.
Das
Schema dieser
Multiplikation
ist
folgendes
wobei
( ^S,
...S,ö.
.
..G
)
s. T....T
)
T....X
)
'
1
/
1
m
l/l/i 1ml/?
VO,
=
Y
T
u
...
(7
T....T
s,
...S,G. ...G S,
...S,T.
...1
1
ml
n
1
/l
m
1
/I
n
sl...sl
_x-
(37)
Beispiel.
Gemischte
Multiplikation
zweier Tensoren zweiten
Ranges
[p.
52]
OVvMt/vp)
=
(V
VHP
=
X^vp
v
Ergänzung.
Wir können
aus
einem Tensor einen
neuen
Tensor dadurch
gewin-
nen,
dass wir ihn auf
irgend
welche Art
mit dem
speziellen
Vektor
vierten
Ranges
(eiklm)
multiplizieren.
Ist
diese
Multiplikation
eine
innere,
so
nennen
wir das Resultat
(abgesehen
von
einem
Zahlenfaktor)
die
Ergänzung
des
ur-
sprünglichen
Tensors. Von Interesse sind
folgende
Fälle