310 DOC. 30
FOUNDATION
OF GENERAL
RELATIVITY
Die
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie. 795
Wie bereits bemerkt,
läßt
sich
jeder
kovariante Tensor
zweiten
Ranges
darstellen1)
als eine Summe
von
Tensoren
vom
Typus
Au
Br.
Es wird deshalb
genügen,
den Ausdruck
der
Erweiterung
für einen solchen
speziellen
Tensor abzuleiten.
Nach
(26)
haben
die Ausdrücke
dÄ»
_
Ier
A
äx"
8
B*
\a
v\
7?
Tensorcharakter.
Durch äußere
Multiplikation
des ersten mit
Bv,
des zweiten
mir
Au
erhält
man
je
einen Tensor dritten
Ranges; deren
Addition
ergibt
den Tensor
dritten
Ranges
(27)
4...
--
in
-c
-
r;i
^
wobei
Auv = Au
Bv
gesetzt
ist.
Da
die rechte Seite
von (27)
linear
und
homogen
ist
bezüglich
der
Auv
und deren ersten
Ableitungen,
führt
dieses
Bildungsgesetz
nicht
nur
bei einem
Tensor
vom
Typus
Au
Bv,
sondern auch, bei einer Summe
solcher
Tensoren,
d. h. bei einem
beliebigen
kovarianten
Tensor zweiten
Ranges,
zu
einem Tensor. Wir
nennen
Aurn
die
Erweiterung
des Tensors
Auv.
Es
ist
klar,
daß
(26)
und
(24)
nur spezielle
Fälle
von
(27)
sind
(Erweiterung
des
Tensors ersten bzw.
nullten
Ranges).
Überhaupt
lassen
sich
alle
speziellen Bildungsgesetze von
Tensoren
auf
(27)
in
Verbindung
mit
Tensormultiplikationen
auffassen.
§
11. "Einige
Spezialfälle
von
besonderer Bedeutung.
Einige
den Fundamentaltensor
betreffende
Hilfssätze.
Wir
leiten
zunächst
einige
im
folgenden
viel
gebrauchte
Hilfs-
1)
Durch äußere
Multiplikation
der Vektoren mit
den
(beliebig
gegebenen) Komponenten
A11,
A12,
A13,
A14
bzw.
1,
0, 0,
0 entsteht
ein Tensor
mit den
Komponenten
A11 A12
Al3 Al4
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0
0
Durch Addition
von
vier Tensoren
von
diesem
Typus
erhält
man
den
Tensor
Auv
mit
beliebig vorgeschriebenen Komponenten.