500 DOC. 50 THEORY OF
BROWNIAN MOTION
238
ZEITSCHRIFT FÜR ELEKTROCHEMIE.
[Nr.
17.
[10]
wobei
v1
die mittlere Konzentration
im
Volumen
Q1E,
d. h.
die
Konzentration
in
der
Mittel-
ebene
M1
ist.
Denn
A ist,
da der
Querschnitt
=
1
ist,
das zwischen
Q1
und
E
befind-
liche
Volumen, welches, multipliziert
mit
der
mittleren
Konzentration,
die
in
diesem Volumen
befindliche
gelöste
Substanz
in
Grammmolekülen
ergibt.
Durch eine
analoge Betrachtung ergibt
sich,
daß die
von
rechts nach links
in
der Zeit
r
durch E
hindurchtretende
Menge
gelöster
Sub-
stanz
gleich
-
Vo
A
2
ist,
wobei v2 die Konzentration
in
der
Mittel-
ebene
M2
bedeutet.
Die
während
x
durch
E
von
links nach rechts diffundierende Substanz-
menge
ist
nun
offenbar
gleich
der Differenz
dieser beiden
Werte, also
gleich
A
(vx
-
vt) (6)
v1
und
v2
sind die Konzentrationen
in zwei
Querschnitten,
welche den sehr kleinen
Ab-
stand
A
haben.
Bezeichnet
man
wieder den
Abstand eines
Querschnittes
vom
linken
Zylinder-
ende mit
x,
so
ist nach der Definition des
Differentialquotienten
dx
folglich
4
dv
so
daß die während
t
durch E diffundierte
Substanzmenge
auch
gleich
ist:
vi
-
A
1
A*
^
_
J2
2
dx
(6a)
Die
in der Zeiteinheit
durch E
diffun-
dierende,
in Grammmolekülen
ausgedrückte
Substanzmenge
ist also
gleich
1
A2 dv
2
r
dx
Wir haben damit einen
zweiten Wert für
den Diffusionskoeffizienten D
gewonnen.
Es
ist
1
A2
D
=
- -
(7)
2
T
wobei
A
die im
Mittel1)
von
einem
gelösten
Molekül
während der Zeit
r,
im
Sinne der
x–
Achse
zurückgelegte Wegstrecke
bedeutet.
Löst.
man (7)
nach
A
auf,
so
erhält
man:
A
=
VzD
\'t
....
(7a)
[9]
1)
Genauer
genommen,
ist
A gleich
der
Wurzel
aus
dem
Mittel der
Quadrate
der Einzelverschiebungen
A12, A22 usw.
Wir
sollten deshalb
statt
A
genauer
A2
schreiben.
§
3.
Bewegung
der einzelnen Moleküle.
Brownsche
Bewegung.
Setzen wir die in den
Gleichungen
(5)
und
(7)
für den Diffusionskoeffizienten
gegebenen
Werte
einander
gleich, so
erhalten wir durch
Auflösen
nach
A:
(8)
NM
Aus
dieser Formel sehen
wir,
daß der
von
einem
Molekül im Mittel
zurückgelegte Weg
nicht
proportional
der Zeit
ist1),
sondern
pro-
portional
der
Quadratwurzel
aus
der Zeit. Es
liegt
dies daran, daß sich die in zwei
auf-
einanderfolgenden
Zeiteinheiten
zurückgelegten
Wege
nicht
stets
addieren,
sondern ebenso
häufig
subtrahieren werden.
Man
kann die
infolge
der
unregelmäßigen Molekularbewegung
im
Mittel
eintretende
Verschiebung
des
Moleküls
vermöge Gleichung (7a)
aus
dem Diffusions-
koeffizienten, vermöge
Gleichung
(8) aus
der
Widerstandskraft
R
berechnen,
welche sich einer
erzwungenen,
mit der
Geschwindigkeit
v
=
1
erfolgenden
Bewegung entgegenstellt.
Für den
Fall,
daß das
gelöste
Molekül
groß
gegen
das
Molekül
des
Lösungsmittels
und
kugelförmig ist,
läßt sich
in Gleichung
(8)
für
SR
der
in
Gleichung
(3)
angegebene
Wert ein-
setzen,
so
daß
man
erhält:
\
f
RT

y/x. (8a)
N
3
TCX\{
Diese
Gleichung
erlaubt
das
Verschiebungs-
mittel2)
A zu
berechnen,
aus
der
Temperatur T,
der
Zähigkeit
des
Lösungsmittels
rj
und dem
Molekülradius
q.
Nach
der molekularkinetischen
Auffassung
existiert
nun
kein
prinzipieller
Unterschied
zwischen einem
gelösten
Molekül
und einem
suspendierten Körperchen.
Wir werden daher
die
Gleichung (8a)
auch dann für
gültig
zu
halten
haben,
wenn es
sich
um
irgendwelche
suspendierten kugelförmigen
Teilchen handelt.
Wir berechnen den
Weg
A,
welchen ein
Teilchen
von
1
Mikron
Durchmesser
in
Wasser
in
1
Sekunde
in
einer bestimmten
Richtung
bei
Zimmertemperatur
durchschnittlich
zurücklegt.
Es
ist
zu
setzen:
R=8,31.107,
n=0,0135,
T=290,
q=0,5.10-4,
N=6.1023. T=1.
T
=
290,
Q
Man
erhält:
A=0,8.10-4
cm=0,8
Mikron.
Diese
Zahl ist
wegen
der
geringen
Genauig-
keit,
mit
welcher N bekannt
ist,
noch
mit
einer
Unsicherheit
von
etwa
+
25%
behaftet.
1)
Vergl. A.
Einstein,
Z. f.
Elektroch. 6
(1907).
2)
Genauer
genommen
die Wurzel
aus
dem Mittel-
wert
von A2.
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