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DOC. 13
GENERALIZED
THEORY
OF
RELATIVITY
Ausrechnung
der
Gravitationsgleichungen 37
3.
Zur
Ableitung
der
Gravitationsgleichungen.
Die
von
Einstein
beschriebene
Herleitung
der
Gravitationsglei-
chungen
(I.
Teil,
§
5),
wird
im
Einzelnen
folgendermaßen
durchgeführt.
Wir
gehen
aus von
dem in der
Energiebilanz
mit Gewißheit
zu
erwartenden
Gliede
(47)
u-2-£k(rtr.T?)
a p
(iv
und formen durch
partielle Integration
um.1)
Es wird
so
dxa
qX/}
^
V9Yaß
fiX/}
' dxadxa'
a
[i
/u
v
aß
(.iv
Die
erste der auf der rechten Seite stehenden Summen hat
die
gewünschte
Form einer Summe
von Differentialquotienten
und
sei be-
zeichnet mit
A,
so
daß
(48)
A~2k(v'J^d^ya/uv.[i
In
der zweiten der rechtsstehenden Summen führen wir
wieder
partielle Integration
aus.
Dann lautet
die
Identität
u~
A
~2k
iyi-rJ-Hf-t)
+2%-:Jk{Vi
afi/uv
1
aß/uv
'
Die erste
der
rechts
entstandenen Summen kann als eine
Summe
von
Differentialen
geschrieben
werden und
möge
mit
(49)
a
[i
(xv
P
bezeichnet
sein.
In der zweiten Summe differentiieren wir
aus.
Dann
wird
U
=
A
-
B +
V
^
(vaf-r-
d/°-
+
V~9
t"V
•
?-
+
Vg
Yaß
dxa
yaP dxj
dxa
r *
dx,
dxa
r *
fccPdx,dxa/',)V-'/
a(i(uv '
oder
wenn man
im
zweiten Summanden
die
Formel
(29)
des
§
2
an-
wendet und
im
dritten Summanden
partiell integriert
tt a
T)
i
"\r
^9(iv
(iv
|/g
Ö9ik -|/~ ^9(iv
^V(iv
^9ik
~~
Vafdxu "äxT
'
2
Vik
8xn
'
~dxa
' Jxß
'
Yai
vi"
dx~a
aß/iivik
'
aßfivik
'
i
"V
^ (i/~
^g'Llv ^Yiuv\
3
/,/-
^9(IV\
dx,
yVYap
dxa
dxa)
dxa
dx,
dxa)
a
[i
(iv '
a ß
(iv
1)
Die
Herleitung
der
gesuchten
Identität vereinfacht
sich,
wenn
wir
den
Faktor
/g
unter das
Differentiationszeichen
setzen,
ohne daß das
Resultat
hiervon
abhängig
wäre.