DOC. 13
GENERALIZED THEORY
OF RELATIVITY
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Differentialtensoren
(ik,lm)
heißen auch
die
Christoffelschen
Vier-Indizes-Sym-
bole
erster
Art.
Von
Bedeutung
sind neben diesen
die
Vier-Indizes-
Symbole
zweiter
Art
*7
1
^
j
tml
(44)
W h,,
_
4il
_J8il+2
((«J['-|_('•
)(.)),
9
die
mit
jenen
in der
Beziehung
stehen
{ig,
lm)
=J?yQk(ik,
lm),
oder
aufgelöst
k
lm).
9
(45)
Den
Vier-Indizes-Symbolen
zweiter
Art
kommt in der
allgemeinen
Vektoranalysis
die
Bedeutung
der
Komponenten
eines
gemischten
Tensors, kovariant
vom
dritten,
kontravariant
vom
ersten
Range
zu.1)
Die
hervorragende Bedeutung
dieser
Begriffsbildungen
für
die
Differentialgeometrie2) einer
durch
ihr
Linienelement
gegebenen
Mannigfaltigkeit
macht
es a priori
wahrscheinlich,
daß diese
allge-
meinen Differentialtensoren auch für
das
Problem der
Differentialglei-
chungen
eines Gravitationsfeldes
von
Bedeutung
sein
dürften. Es
ge-
lingt
in der Tat
zunächst,
einen kovarianten Differentialtensor zweiten
Ranges
und zweiter
Ordnung
Gim
anzugeben,
der in
jene Gleichungen
eintreten
könnte,
nämlich
[71]
(46)
Gim =
y;?kl(ik,
lm)
=
{ik,km).
kl
k
Allein
es zeigt
sich,
daß sich
dieser Tensor
im
Spezialfall
des
un-
endlich schwachen statischen Schwerefeldes
nicht
auf
den
Ausdruck
AQ reduziert.
Wir
müssen daher
die
Frage
offen
lassen,
inwiefern
die
[72]
allgemeine
Theorie der mit
einem
Gravitationsfeld
verknüpften
Diffe-
rentialtensoren mit dem Problem
der
Gravitationsgleichungen
zusammen-
hängt.
Ein solcher
Zusammenhang
müßte
vorhanden
sein,
sofern
die
Gravitationsgleichungen
beliebige Substitutionen zuzulassen
hätten;
allein
in diesem
Falle scheint
es ausgeschlossen
zu sein,
Differential-
gleichungen
zweiter
Ordnung
aufzufinden. Würde
dagegen feststehen,
daß
die
Gravitationsgleichungen nur
eine
gewisse
Gruppe von
Trans-
formationen
gestatten, so
wäre
es verständlich, wenn man
mit
den
von
der
allgemeinen
Theorie
gelieferten
Differentialtensoren nicht auskommt.
Wie
im
physikalischen
Teile
ausgeführt ist,
sind wir nicht
imstande,
zu
diesen
Fragen Stellung
zu
nehmen.
-
1)
Es
folgt
dies
aus
der ersten
der
Gleichungen
45.
2)
Das
identische Verschwinden
des Tensors
Riklm,
stellt
die
notwendige
und
hinreichende
Bedingung
dafür
dar,
daß die Differentialform
auf
die Form
^dx*
transformiert werden kann.
[70]