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DOC. 13
GENERALIZED
THEORY OF RELATIVITY
Differentialtensoren 35
Also bleibt
2\7g
dXy
'
g"!'
@"V)
_
2^
-J^T
&fcr
fXV fx
V
d. h.
bis auf
den
Faktor 1/g
die
linke Seite der untersuchten
Gleichung.
Dividiert
man
also
jene
Gleichung
durch
g,
so
stellt ihre linke Seite
die
O-Komponente
eines kovarianten Vektors
dar,
ist
also
in der Tat
kovariant.
Man
kann daher den Inhalt
jener
vier
Gleichungen
auch
so
aussprechen:
Die
Divergenz
des
(kontravarianten) Spannungs-Energie-
tensors
der materiellen
Strömung bzw.
des
physikalischen
Vorganges
verschwindet.
2.
Differentialtensoren
einer durch ihr Linienelement
gegebenen Mannigfaltigkeit.
Das
Problem der
Aufstellung
der
Differentialgleichungen
eines
Gravitationsfeldes
(I.
Teil,
§
5)
lenkt
die Aufmerksamkeit auf
die
Dif-
ferentialinvarianten
und
Differentialkovarianten
der
quadrati-
schen Differentialform
ds2
uv
Die Theorie dieser Differentialkovarianten
führt
im
Sinne
unserer
allgemeinen Vektoranalysis
auf
die
Differentialtensoren,
die
mit
einem Gravitationsfeld
gegeben
sind.
Das
vollständige System
dieser
Differentialtensoren
(beliebigen
Transformationen
gegenüber)
geht
zurück
auf eine
von
Riemann1)
und
unabhängig von
diesem
von
Christoffel2)
gefundenen
kovarianten Differentialtensor vierten
Ranges,
den wir
den
Riemannschen Differentialtensor
nennen
wollen
und der
folgender-
maßen lautet
Riklm
=
(i~k Im,}
=
1 (--*9*™-
4.
d'fl»
dtgii
d*gmk\
V
' /
a
\dxidxl
dxidxm
dxkdxm
dxtdxj
(43)
+2
^
IT]
[V]-[;'][';]).
[68]
Durch kovariante
algebraische
und
differentielle
Operationen
erhält
man aus
dem
Riemannschen Differentialtensor und
dem
Diskriminanten-
tensor
(§
3,
Formel
38)
das
vollständige System
der Differentialtensoren
[69]
(also
auch der
Differentialinvarianten)
der
Mannigfaltigkeit.
1)
Riemann,
Ges.
Werke, S.
270.
2)
Christoffel,
l.
c.,
S. 54.
3*
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