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DOC.
7
PROBABILITY CALCULUS
Ein Satz der
Wahrscheinlichkeitsrechnung usw.
1103
Wir können diesen Ausdruck noch
vereinfachen,
indem
wir
alle
f2n
als
gleich
annehmen.
Dies kommt
ersichtlich
nur
darauf
hinaus,
daß wir
die einzelnen Funktionen
fn
mit
passen-
den Konstanten
multipliziert
denken.
(Im
speziellen
Fall
unserer
sin und
cos
ist
diese vereinfachende Annahme
von
selbst
erfüllt.)
So
erhalten wir schließlich für die Funktion F die
Diffe-
rentialgleichung:
(12)
F +
/
-a
0.
Zur
Lösung
dieser
Differentialgleichung
führt
uns
die
Be-
trachtung
des über den
ganzen
Raum erstreckten
Integrals:
(13)
/
r !('v"
// •)'!
ds"
o
"l
a
F
+ /2
(14Shhl.
.
o
Nun
ist
aber:
n
fy
(($«/•
+
r
!.$•».
. .
r/.S -v
n
n
t
n
=f
*+r
y
s-
...
ds
,
«'
o
oder
wenn
wir den zweiten Summanden
partiell integrieren
und
bedenken,
daß im Unendlichen
F
= 0
sein
muß,
JF(
"I
2
.9
I-
.
. . .
n
ULI
Dieser Ausdruck verschwindet
aber,
weil
JFS'")2
dSn).
. .
dS
")
nichts anderes ist, als der im letzten
Paragraphen
abgeleitete
Mittelwert
S(n)2,
falls
nur
ein
einziges
S
betrachtet
wird;
für
diesen
folgt
aus
Gleichung
(10)
S2
=
f2.