DOC. 13 GENERALIZED THEORY OF RELATIVITY
333
32 Diskriminantentensor
Linienelementes
verknüpft
ist.1)
Diese
Diskriminante transformiert sich
ja
gemäß
der
Gleichung
(36)
g'=p2.g,
wo
JP
-
I
Ä*
I
-
dx,-
oxkfr\
die Funktionaldeterminante
der
Substitution
ist.
Gibt
man Yg
für
das
ursprüngliche Bezugssystem
ein bestimmtes
Vorzeichen,
und setzt
man
fest,
daß
sich
dieses
Vorzeichen bei einer Transformation ändern soll
oder
nicht,
je
nachdem
die
Substitutionsdeterminante
p
negativ
oder
positiv ist,
so
hat
die
Gleichung
(37)
g'=p.g
exakte
Bedeutung
mit Einschluß der Vorzeichen.
Es
sei
nun
sr1r2...rn
gleich
Null,
wenn
zwei
der Indizes einander
gleich
sind,
dagegen
±
1,
wenn
dies
nicht der Fall ist und die Permu-
tation
r1,
r2,...rn
durch
eine
gerade
bezw.
ungerade
Anzahl
von
Ver-
tauschungen
zweier Indizes
aus
der
Grundpermutation
1,2,...n
hervorgeht.
Dann
sind
(38) enr1-.rn-Srlrt---rn-V9
die
Komponenten
eines
speziellen
kovarianten Tensors
n
ten
Ranges,
den
wir den kovarianten Diskriminantentensor
nennen
wollen. Denn
[64]
eine Transformation liefert zunächst
V.....
«W-r»
'
P
V9
»
da aber
P
»

in
'
PhlPi**"
' Pinn~~
v

rn
'
i2

in
' Pit
r^Pi*
r%
'
" Pi"
rn

ist,
so
folgt
erx
ra

rn
Y9
'
U_
in *
PiL
r^P
i'2
r?
'
' '
Pin
rn
'i-

*l/t
also
wegen
der Definition
(38)
erx

r"
i2

in
'
Pi\
rLPi2
/•»**'
Pin
rn '
«
Für
den
reziproken
kontravarianten Tensor
findet
man
nach
(13)
€h
H'"
*n
^
Y
*x
n
Y*1
' ' ' Y
in
rn
'
r2

vn
rlri...rn
»2 ' * *
1'n
^9
'
r%
r"
'
Y1\
i\
Y
t\ r2
'
' ' Y
in
rirz•• 'ffi
^*i ü
in
'
^9
*
r2



rn
' Yl
rx
72
r2
'
'
'
Ynrn
rxr2... rn
1)
Das
"System
s"
von
Ricci
und
Levi-Civita,
l.
c.,
pag. 135.
[63]
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