334 DOC. 13 GENERALIZED THEORY OF RELATIVITY
Ergänzung
der Tensoren
33
Da aber
die
Determinante der normierten Unterdeterminanten
yik
£
~~
9
7ik
ist, so folgt
(39)
** ' ' *»
V~9
Die
Bedeutung
des
kovarianten
(kontravarianten)
Diskriminanten
tensors
liegt darin,
daß
seine innere
Multiplikation
mit
einem kontra-
varianten
(kovarianten)
Tensor
vom
Range
X
einen
gleichartigen
Ten-
sor vom Range
X
-
n liefert,
wobei der Tensor
von entgegengesetzter
Art
wird, wenn
X
-
n negativ
ist.
(Ergänzung des
Tensors.)
Wenn
n
=
4
ist,
so gibt es spezielle
Tensoren bis
zum
vierten
Rang,
da alle
spe-
ziellen Tensoren höheren
Ranges
identisch verschwinden.
Die
nichtverschwindenden
Komponenten
eines
speziellen
kovarian-
ten Tensors vierten
Ranges
sind alle einander
gleich
oder
entgegenge-
setzt
gleich.
Die
Ergänzung (innere
Multiplikation
mit
dem
kontra-
varianten Diskriminantentensor)
ergibt
einen
Skalar,
so
daß die
Diffe-
rentialoperationen,
die
an
einem
speziellen
Tensor vierten
Ranges aus-
geführt
werden
können,
damit
zurückgeführt
sind
auf die Differential-
operationen an
einen Skalar.
Die
Ergänzung
eines
speziellen
kovarianten Tensors dritten
Ranges
ist ein kontravarianter Vektor
erster
Art.
Die
Ergänzung
eines
speziellen
kovarianten Tensors
zweiten
Ranges
ist ein
kontravarianter,
spezieller
Tensor zweiten
Ranges.
Endlich
führt
die
Ergänzung
eines
speziellen
kovarianten Vektors
erster Art auf einen kontravarianten
Tensor dritten
Ranges.
Die
Untersuchung
des
Einflusses des Gravitationsfeldes
auf
die
physikalischen Vorgänge
(I.
Teil,
§ 6)
erfordert die
eingehendere
Be-
handlung
der
speziellen
Tensoren zweiten
Ranges (Sechservektoren).
Ist
Ouv
ein
spezieller
Tensor zweiten
Ranges, so
reduziert sich
seine
Divergenz (Formel 35)
wegen
auf
2
r;
K-
9
'
VX
0
=
-
0 0
=
o
xv 7 vv
(40)
8,- »,.).
Einstein-Großmann: Relativitätstheorie
und Gravitation
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