DOC. 13
GENERALIZED THEORY OF RELATIVITY
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Kovarianz
der
Impuls-Energiegleichungen
Wir leiten
ferner
aus
einem
kontravarianten Tensor zweiten
Ranges
Quv
folgendermaßen
den
dualen kontravarianten
Tensor zweiten
Ranges
O*rs
ab.
Wir bilden zuerst
die
Ergänzung1)
(41)
Ta=
nv
oder
also
[65]
Tn
=
yg.&Si, Ta
-
y'g
,
Tu
=
Vg
©23;
(41a)
\
r
T*S
=Vg
®u,
=Yg
©S1,
TSi
=
Yg
&1S.
Der
gesuchte
duale Tensor ist
nun
reziprok
zu
dieser
Ergänzung,
lautet daher
(42)
=2VirVk,
y*r?Uetk^
&"V.
ik ik/uv
Die
Reihenfolge
der beiden
Operationen
-
Ergänzung
und
Bildung
des
reziproken
Tensors
-
ist
wegen
der
Reziprozität
der beiden
Dis-
kriminantentensoren vertauschbar.
-
§
4.
Mathematische
Ergänzungen zum physikalischen
Teil.
1.
Beweis der Kovarianz der
Impuls-Energiegleichungen.
Es ist
zu
beweisen,
daß
sich
die
Gleichungen
(10)
des I.
Teiles,
S.
10,
die
vom
Faktor
]/-
1
abgesehen
lauten
2d%'9a"'
~
*
V~9
"2
"fe,
(o=1,2,3,4)
fuv
(UV
beliebigen
Transformationen
gegenüber
kovariant verhalten.
Nach
Formel
(35)
ist die
Divergenz
des
kontravarianten Ten-
sors
Ouv
v
r 9
vk
Der
zu
diesem
kontravarianten
Vektor
Ou reziproke
kovariante
Vektor
Ta
ist also
T.
9.r
®"
a~
(Vi
•*,•»".)-
("*|
®"
n
fivk
Das letzte
Glied
dieser Summe ist aber
gleich
2^-2
*
(%f+£*-£) •-
vk
/uv
^
1)
Der
Faktor
1/2
dient
zur
Vereinfachung
des
Resultates,
ohne invarianten-
theoretisch
von
Belang zu
sein.
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