DOC.
1
MANUSCRIPT
ON
SPECIAL RELATIVITY
41
müssen
also
so
beschaffen
sein,
dass die zweite
Gleichung
in die
erste
über-
geht,
wenn
für
x',
y', z',
t'
ihre Ausdrücke
in
x,
y,
z,
t
eingesetzt
werden.
Die
Transformation
muss
daher
die
Gleichung
A2,
(x2
+
y2
+
z2
-
c2
t2)
=
(x2
+
y2
+z2
-c2
t2
)
...(15)
zu
einer Identität
machen,
wobei wir
von
dem Faktor
X2
zunächst
nur
wissen,
dass
er
nicht verschwinden darf.
Man
sieht
aber,
dass
X2
von
x, y, z,
t
unab-
hängig
sein
muss,
da
sonst
die
durch
X2
dividierte rechte Seite nach Ausfüh-
rung
der Substitution nicht eine
homogene, ganze
Funktion zweiten Grades
von
x,
y,
z,
t
sein
könnte.
Wir
untersuchen
nun
die
Substitution
vorläufig
für
den
Fall
X2
= 1
und
zeigen
dann
nachträglich,
dass dieser Fall
vom
physika-
lischen
Standpunkte
der allein
in
Betracht kommende
ist.
Anstelle
von
(15)
tritt dann
x2 +
y2
+
z2
c2t2
=
x2 +
y2
+
z2
-
c2t2
...(15a)
Führt
man
statt
der Zeitvariabeln
t
die
Variable
u
=
ict bezw.
u' =
ict'
ein,
wobei
i
die
imaginäre
Einheit
bezeichnet,
so
erhält
man
statt (15a)
die
Form
x2 +
y2
+
z2
+
u2
=
x'2
+
y'2
+
z'2
+
u'2
...(15b)
Diese
Wahl
der Zeitvariablen rührt bekanntlich
von
Minkowski
her.[61]
Ihre
grosse Bedeutung liegt
darin,
dass durch
sie die die
gesuchte
Substitution
be-
herrschende
Gleichung
(15a)
auf eine Form
gebracht
wird, in die
die räumli-
chen Koordinaten
und die
zeitliche Koordinate in
gleicher
Weise
eingehen.
Die
Koeffizienten
der
gesuchten
Substitution seien durch
das
nebenste-
hende Schema
bezeichnet;[62]
es
bedeute
z.
B.
die
zweite
Horizontalreihe,
dass
die
Gleichung
y'
= a21x
+
a22y
+
a23z
+
oc24u
bestehen
soll.
Von
diesen
Koeffizienten sind
offenbar
diejenigen,
welche
den
Index
"4"
nicht oder zweimal enthalten
reell, die
übrigen
rein
imaginär
x
y
Z
u
x'
«11
«12 «13 «14
y'
*21
a22 «23 «24
z' «31
«32
«33 «34
u'
«41
«42
«43 «44
Die
Gleichung
(15b)
ist identisch
erfüllt,
wenn
zwischen
den
Koeffizienten
a
die
Beziehungen
bestehen
+
«2v
+
«3v
+
«4v =
1
(v
=
1,
2, 3
oder
4)
aa+aa+aa+aa =
0
(M^v; sowohl
u
als v
u1nw1v
T
w2nu2v
^
u3nw3v
^
u4jiw4v
u
r ^
eine
der Zahlen 1-4
^
(16)
Dies sind
im
Ganzen
4
+
4.3
-
2 =
10
Bedingungen,
welchen
die
Koeffizienten
[p.
26]