12
DOC.
2
COVARIANCE
PROPERTIES
220
Kovarianzeigenschaften
der
Feldgleichungen usw.
[17]
Mit
Benutzung
der Definitionen
(14)
und
(16)
des "Entwurfes"
nimmt somit die
Bedingung (V)
die Form
an
f
^
(A.
v
(ff)
+
*
(', v
+
-V-gdr
=
o.
UV
Da
die
Symv
voneinander
unabhängig
sein
sollen, so folgen
hier-
aus
die
Gleichungen (21)
des
"Entwurfes" d.
h.
unsere
Gravitations-
gleichungen
in
der kovarianten Form.
§
4.
Beweis
eines
Hilfssatzes.
Angepaßte Koordinatensysteme.
Unsere
Aufgabe
wird
es nun
sein,
die
Kovarianzeigenschaften
der
Gleichung
(V)
zu
untersuchen. Zu
diesem
Zwecke suchen wir zunächst
die
Transformationseigenschaften
des
Integrales
J=\
Hdx
=
-gYaBgYz.dxXa
Es
liege
eine
beliebige
vierdimensionale
Mannigfaltigkeit
M
vor,
die
auf
ein
Koordinatensystem
K
der
Xv
bezogen
sei.
Außerdem be-
ziehen
wir dieselbe
Mannigfaltigkeit
M
auf ein zweites
Koordinaten-
system
K' der
xv,
so
daß
dx.
=
Xvdxm
y!p,'dx"
die Transformationsformeln
sind. J und
J'
seien
die Werte
des oben
eingeführten Integrales
in
bezug
auf
K
bzw.
K'. Dann
ist
J'
=
-g
.
gegd
v
aptfj
a
?
Transformiert
man
J'
auf
das
Koordinatensystem
K, und berück-
sichtigt
man,
daß Y~-g'
•
dx ein Skalar
ist, so
erhält
man
(V
1I7(~Ttra~tap7rsPicr
a!x(PmrPn
Ymn)P*aa!i, (~54~2t1~7,4~))d1t,
also
(.i
vati
riik
mnt()
dt.
H
vmnikqt
Für
die weitere
Rechnung
wollen wir
annehmen,
daß
sich
die
Ko-
ordinatensysteme
K
und
K'
nur
unendlich
wenig
voneinander
unter-
scheiden,
d.
h.
daß
die
Transformation
eine
infinitesimale sei.
Dann
ist
zu
setzen
-
Ax,y.
X
=
X,
v r