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DOC.
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FORMAL FOUNDATION OF RELATIVITY
Einstein:
Die formale
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie.
1047
eine
von
der Wahl
des
Koordinatensystems unabhangige Bedeutung.
Um
derartige Tensorgleichungen
aufstellen
zu
können,
muß
man
die
Gesetze kennen,
nach denen
aus
gegebenen
Tensoren
neue gebildet
werden können.
Wie
dies
auf
algebraischem
Wege geschehen
kann,
ist bereits
besprochen
worden.
Wir
haben
noch die Gesetze
abzuleiten,
gemäß
welchen
man
durch
Differentiation
aus
bekannten Tensoren
neue
bilden kann.
Die
Gesetze dieser
Differentialbildungen
sind bereits
durch
Christoffel und
Ricci
und Levi-Civita
gegeben
worden;
ich
gebe
hier eine besonders einfache
Ableitung
für
dieselben,
welche
neu zu
sein scheint.
Alle
Differentialoperationen an
Tensoren
lassen sich
auf
die
soge-
nannte
»Erweiterung«
zurückfuhren. Diese
ist
im Falle
der
ursprüng-
lichen
Relativitätstheorie,
d. h. in dem
Falle,
daß
nur
lineare,
orthogo-
nale Substitutionen
als
»berechtigte« zugelassen
werden,
durch
folgenden
Satz
gegeben.
Ist
Ta1...al
ein Tensor
lten
Ranges, so
ist
Ta1...al/SXs
ein
Tensor
vom
l+1
ten
Range.
Hieraus
ergibt
sich leicht die
sogenannte
»Divergenz«
an
Tensoren mit Hilfe des in
Gleichung (10)
des
§
6
ge-
gebenen speziellen
Tensors
%m,
den wir im
Falle
der
Beschränkung
auf
lineare
orthogonale
Transformationen,
in welchem die Unterschiede
zwischen kovariant und kontravariant
wegfallen,
durch das Zeichen
Smv
zu
ersetzen
haben. Durch innere
Multiplikation
des
durch
»Erweiterung«
gebildeten
Tensors l+1ten
Ranges
mit dem Tensor
Smv
erhalten wir
den Tensor
l-1ten
Ranges
%
`V I.
ax,
"a
Es ist dies die nach dem Index
al gebildete Divergenz
des Tensors
Ta1...al.
Es ist
unsere
Aufgabe,
die
Verallgemeinerung
dieser
Opera-
tionen
fur
den Fall
aufzustellen,
daß die Substitutionen den
genannten
beschränkenden
Bedingungen (Linearität-Orthogonalität)
nicht
unter-
worfen werden.
Erweiterung eines kovarianten Tensors.
Es sei o
(x1..x4)
ein Skalar
und
S eine in
unserem
Kontinuum
gegebene
Kurve. Die
von
einem
Punkte P
von
S
aus
nach bestimmter Seite
auf
S im Sinne
der
§§
1
und
8
gemessene
»Bogenlänge«
sei
s.
Dann können
wir
die
Funktionswerte
f
der auf
S
gelegenen
Punkte
des
Kontinuums auch
als
Funktion
von s
ansehen. Es ist dann
klar,
daß
auch die Größen
dQ/ds,
d2Q/ds2
usw.
Skalare
sind,
d. h.
Größen,
die in einer
vom
Koordinaten-
system
unabhängigen
Weise definiert sind. Da aber