DOC.
9
FORMAL FOUNDATION OF
RELATIVITY
111
1068
Gesammtsitzung v.
19.
Nov. 1914.
-
Mitth. d.
phys.-math.
Cl.
v.
29. Oct.
linearen Transformationen
gegenüber
kovariant
sein
müssen,
so
würde
unsere
Theorie ihre
Hauptstütze
einbüßen.
Denn eine Transformation
auf
ein
beschleunigtes
oder rotierendes
System
würde
dann keine be-
rechtigte
Transformation
sein,
und
die in
§
1
hervorgehobene physi-
kalische
Gleichwertigkeit
des
»Zentrifugalfeldes«
und Schwerefeldes
würde
durch die Theorie nicht
auf
eine
Wesensgleichheit
zurückgefuhrt.
Anderseits aber
ist
es (wie
sich im
folgenden
zeigen wird)
vorteil-
haft,
zu
fordern,
daß
zu
den
berechtigten
Transformationen auch die
linearen
gehören.
Es sei daher zunächst
kurz
einiges gesagt
über
die
Modifikation,
welche die im Absatz
B
dargelegte
Kovarianten-
theorie
erfährt,
wenn
statt
beliebiger nur
lineare Transformationen als
berechtigte zugelassen
werden.
[35]
Kovarianten bezüglich linearer
Transformationen.
Die
in
§
3
bis
§
8 dargestellten algebraischen Eigenschaften
der
Tensoren
werden
dadurch,
daß
man nur
lineare Transformationen
zuläßt,
nicht
vereinfacht;
hingegen
vereinfachen sich die
Regeln
für
die
Bildung
der
Tensoren durch Differentiation
(§
9)
bedeutend.
Es ist nämlich
allgemein
3
__
3
N
Also ist
z.
B.
für einen kovarianten Tensor zweiten
Ranges ge-
mäß
(§
5a)
34j,
_
ax. 3 (3Xg,
___
Fur lineare Substitutionen sind die Ableitungen
dxu/dxu'
usw. von den
xg
unabhangig,
so daB
man
hat
3A,
__
3x~ 3x~
3Xe
3A4
(dAaB/dxo)
ist
also
ein
kovarianter Tensor
dritten
Ranges.
Allgemein
kann
gezeigt
werden,
daß
man
durch Differentiation
der
Komponenten
eines
beliebigen
Tensors nach den
Koordinaten
wieder
einen
Tensor
erhält,
dessen
Rang um
1
erhöht
ist,
wobei
der
hinzu-
tretende Index
kovarianten Charakter
hat.
Dies ist also die
Operation
der
Erweiterung
bei
Beschränkung
auf
lineare
Transformationen.
Da die
Erweiterung
in
Verbindung
mit den
algebraischen Operationen
die
Grundlage
für die
Kovariantenbildung überhaupt
bildet,
beherrschen
wir damit
das
System
der
Kovarianten
bezüglich
linearer
Transforma–