DOC.
9
FORMAL
FOUNDATION
OF RELATIVITY
117
1074
Gesammtsitsung
v.
19.Nov.
1914.
-
Mitth. d.
phys.-math.
Cl.
v.
29. Oct.
bei
Beschränkung
auf
angepaßte Koordinatensysteme
und
Substitutionen
zwischen solchen ein
kovarianter Tensor,
{mv
selbst
der
entsprechende
kovariante
V-Tensor ist, und
zwar
nach
(73)
ein symmetri-
scher
Tensor.
§
15.
Ableitung
der
Feldgleichungen.
Es
liegt
die Annahme
nahe,
daß in den
gesuchten Feldgleichungen
der
Gravitation,
welche
an
die Stelle
der
Poissonschen
Gleichung
der
Newtonschen Theorie
zu
treten
haben,
der Tensor
Emv
eine fundamen-
tale Rolle
spiele.
Denn wir haben nach den
Überlegungen
der
§§ 13
und
14
zu
fordern,
daß die
gesuchten Gleichungen
-
ebenso wie
der
Tensor
(Smv -
nur
bezüglich angepaßter Koordinatensysteme
kovariant
seien. Da wir ferner im Anschluß
an
(42a)
gesehen
haben,
daß
fur
die
Einwirkung
des Gravitationsfeldes
auf
die Materie
der
Energie-
tensor
%vs
maßgebend
ist,
so
werden
die
gesuchten
Gleichungen
in einer
Verknüpfung
der Tensoren
(Emv
und
Esv
bestehen. Es
liegt
also
nahe,
die
gesuchten Gleichungen so
anzusetzen:
Err
=
xSrr (74)
Dabei ist
x
eine universelle Konstante und Err
der
symmetrische
kovariante
V-Tensor,
der
zu
dem
gemischten Energietensor
Esv
gehört,
gemäß
der
Relation
Err
=
Egrr
Es
bzw.
Er
=
Esrrgrs}
(75)
Bestimmung
der Funktion
H.
Damit
sind
die
gesuchten
Glei-
chungen
insofern noch
nicht
vollständig gegeben,
als wir die Funktion
H
noch nicht
festgelegt
haben. Wir wissen bisher
nur,
daß
H
von
den
gmv
und
gmvs
allein
abhängt
und
bezüglich
linearer
Transformationen ein
Skalar ist1. Eine weitere
Bedingung,
welcher
H
genügen muß,
erhalten
wir
auf
folgendem Wege.
Ist
Evs
der
Energietensor
des
gesamten,
in dem betrachteten
Gebiete
vorhandenen materiellen
Vorganges, so
verschwindet in
(42a)
der
V-
Vierervektor
(Rv)
der
Kraftdichte.
(42a) sagt
dann
aus,
daß die Diver-
genz
des
Energietensors
Evr
des materiellen
Vorganges
verschwindet;
gleiches
gilt
dann
gemäß (74)
für
den Tensor
Err,
bzw.
fur
den
aus
1
Ohne die letztere,
in
§
14
eingefuhrte Beschrankung hatten
wir fur
Bm
nicht
den in (65a) gegebenen Ausdruck gefunden; die
im
folgenden
im
Texte
angegebene
Betrachtung
zur
Bestimmung von
H
scheitert, wenn man
jene
Beschrankung fallen laBt.
Hierin
liegt
ihre Rechtfertigung.