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DOC.
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FORMAL FOUNDATION
OF
RELATIVITY
Einstein:
Die formale
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie.
1071
Umgekehrt
ist
(67)
hinreichende
Bedingung
dafur,
daß das
Ko-
ordinatensystem
ein dem Gravitationsfeld
angepaßtes
ist.
Indem
wir im
folgenden Differenzialgleichungen
des Gravitations-
feldes
aufstellen,
welche
nur
fur
angepaßte Koordinatensysteme
Gültig-
keit
beanspruchen,
vermeiden wir die im
§ 13
dargelegte Schwierigkeit.
In
der Tat ist
es
bei
Beschränkung
auf
angepaßte Koordinatensysteme
nicht
gestattet,
ein außerhalb
X gegebenes Koordinatensystem
ins Innere
von
2
in
beliebiger
Weise
stetig
fortzusetzen.
[39]
§
14.
Der H-Tensor.
Die
Gleichung
(65)
fuhrt
uns zu
einem
Satze,
der
fur die
ganze
Theorie
von
fundamentaler
Bedeutung
ist.
Wenn
wir das Gravitations-
feld der
gmv
unendlich
wenig
variieren,
d. h. die
gmv
durch
ymv
+
igmv
er-
setzen,
wobei die
igmv
in einer endlich
breiten,
der
Begrenzung
von
2
anliegenden
Zone
verschwinden
mögen,
so
wird H
in
H +
&H
und das
Integral
J
in J +
SJ
übergehen.
Wir
behaupten nun,
daß stets die
Gleichung
*{»J)
=
o
(68)
gilt,
wie die
gmv
auch
gewählt
werden
mögen,
falls
nur
die Koordinaten-
systeme
(K1
und
K2)
bezüglich
des unvariierten Gravitationsfeldes
ange-
paßte
Koordinatensysteme
sind;
d. h. bei
Beschränkung
auf
angepaßte
Koordinatensysteme
ist
SJ
eine Invariante.
Zum Beweise denken wir
uns
die Variationen
igmv
aus
zwei Teilen
zusammengesetzt;
wir schreiben also
tg~
=
S,j?" +
S,gmv, (69)
welche
Teilvariationen
in
folgender
Weise
gewählt
werden:
a)
Die
S1 gmv
seien
so
gewählt,
daß das
Koordinatensystem
K1
nicht
nur
dem
(wirklichen)
Gravitationsfelde
der
gmv,
sondern auch dem
(vari-
ierten)
Gravitationsfelde
der
gmv
+
hgmv
angepaßt sei. Es bedeutet
dies,
daß nicht
nur
die
Gleichung
Bm
=
o,
sondern auch die
Gleichungen
S1Bm
=
o
(70)
gelten
soll.
Die
s1gmv
sind also
nicht
voneinander
unabhängig,
sondern
es
bestehen zwischen ihnen
4
Differentialgleichungen.
b)
Die
s2gmv
seien
so
gewählt,
wie sie ohne
Änderung
des Gravi-
tationsfeldes durch bloße Variation des
Koordinatensystems
erzielt
werden
könnten,
und
zwar
durch eine Variation
in
demjenigen
Teilgebiete
von
2, in welchem die
sgmv
von
Null
verschieden sind. Eine
derartige
Varia-