218
DOC.
21
GENERAL
RELATIVITY
Einstein: Zur
allgemeinen
Relativitatstheorie
781
Ein
Vergleich
mit
(41b)
zeigt,
daß bei
unserer Festsetzung
das
Gesetz
für die
Divergenz
dasselbe
ist,
wie
gemaß
dem
allgemeinen
Diffe-
rentialkalkül das Gesetz
für die
Divergenz
des V-Tensors. Daß diese
Bemerkung
für
beliebige Tensordivergenzen
gilt,
laßt
sich
aus
(5)
und
(5a)
leicht
ableiten.
3.
Die
tiefgreifendste Vereinfachung
bringt
unsere Beschrankung
auf
Transformationen
von
der
Determinante
1
hervor
für
diejenigen
Ko-
varianten,
die
aus
den
guv
und
ihren
Ableitungen
allein
gebildet
werden
können.
Die
Mathematik lehrt, daß diese Kovarianten alle
von
dem
Riemann-Christoffelschen Tensor vierten
Ranges abgeleitet
werden
können,
welcher
(in
seiner kovarianten
Form)
lautet:
__
`
/
a$vis
__ 3'Sa __
3.9_k
\
(ilE,lrn)
}
(10)
1*11
__nil
tkm1~
bi1~])
pLc]
Das
Problem der Gravitation
bringt
es
mit
sich,
daB
wir uns besonders
für die Tensoren zweiten Ranges interessieren, welche aus diesem
Ten-
sor vierten Ranges
und
den
guv
durch innere Multiplikation gebildet
werden konnen. Infolge der aus
(10)
ersichtlichen Symmetrie-Eigen-
schaften des Riemannschen Tensors
(ik,
lm)
(lm,
ik)
1
(ik,lm)
(ki,lm)f
(11)
kann eine solche Bildung nur
auf
eine
Weise vorgenommen
werden;
es
ergibt sich der Tensor
~g"(ik,lm).
(12)
hi
Wir
leiten diesen Tensor fur unsere Zwecke jedoch
vorteilhafter
aus
einer zweiten, von
Christoffel
angegebenen Form
des
Tensors (10)
ab,
namlich
aus1
{ik,lm}
~ght(ip,Zm)
3(g)
__
iiI1,mt
kJ
1
(13)
Aus
diesem
ergibt
sich der Tensor
Gim,
indem man ihn
mit
dem Tensor
gik
=
Egkug1
multipliziert (innere Multiplikation):.
1
Einen einfachen Beweis
fur
den
Tensorcharakter
dieses Ausdrucks findet man
auf
S.
1053
meiner mehrfach zitierten Arbeit.