DOC.
41 HAMILTON'S
PRINCIPLE
411
1112
Sitzung
der
physikalisch-mathematischen
Klasse
vom
26. Oktober
1916
so
viele
Differentialgleichungen,
wie
zu
bestimmende Funktionen
guv
und
q(r)
vorhanden
sind,
wenn
wir
festsetzen,
daß die
guv
und
q(w)
ab-
hängig
voneinander
zu
variieren
sind,
und
zwar
derart,
daß
an
den
Integrationsgrenzen
die
$q(p);
iguv
und
sgmv/sxv
alle verschwinden.
Wir
wollen
nun
annehmen,
daß
S in
den
guvaT
linear
sei,
und
zwar
derart,
daß die Koeffizienten
der
quvaT
nur von
den
guv
ab-
hängen.
Dann
kann
man
das
Variationsprinzip
(1)
durch
ein für
uns
bequemeres
ersetzen. Durch
geeignete partielle
Integration
erhält
man
nämlich
\$dT
=
(&dr+F,
(2)
wobei
F
ein
Integral
über
die
Begrenzung
des betrachteten Gebietes
bedeutet,
die Größe
h*
aber
nur
mehr
von
den
guv,
guva, q(e), q(e)a,
aber
nicht mehr
von
den
guvat
abhängt.
Aus
(2)
ergibt
sich für
solche
Variationen,
wie
sie
uns
interessieren
{Jödr}
=
Ä{f§Vr}, (3)
so
daß wir
unser
Variationsprinzip (1)
ersetzen dürfen
durch
das
be-
quemere
i
{JVfr} =
°.
(1a)
Durch
Ausführung
der Variation nach den
guv
und
nach
den
q(e)
erhält
man
als die
Feldgleichungen
der Gravitation und der
Materie
die
Gleichungen1
3
mn
as-
tzxsirr
w
~ (4)
3
ag*
(5)
§
2.
Sonderexistenz
des
Gravitationsfeldes.
Wenn
man
über
die Art
und
Weise,
wie
5
von
den
guv,
guva,
guvav,
q(e),
q(e)a
abhängt,
keine
spezialisierende
Voraussetzung
macht,
können die
Energiekomponenten
nicht
in zwei Teile
gespalten werden,
von
denen
der
eine
zum
Gravitationsfelde,
der
andere
zu
der
Materie
gehört.
Um
diese
Eigenschaft
der
Theorie
herbeizuführen,
machen
wir
folgende
Annahme
6
=
«-+-3»,
(6)
1
Zur
Abkürzung
sind in den Formeln
die Summenzeichen
weggelassen.
Es
ist
über
diejenigen
Indizes stets
summiert
zu
denken, welche in einem
Gliede zwei-
mal vorkommen.
In
(4)
bedeutet
also
z.
B.
s/sxa
(sh*?gmva)
den Term
E/xa
(sh*/sgmva).
[5]
[6]