DOC.
41
HAMILTON'S
PRINCIPLE
413
1114
Sitzung
der
physikalisch-mathematischen
Klasse
vom
26. Oktober
1916
Zweck
führen wir
eine infinitesimale Transformation
der
Koordinaten
durch,
indem wir setzen
x'v
=
x,+•*£,; (10)
die
Axv
sind
beliebig
wählbare,
unendlich kleine Funktionen
der
Koor-
dinaten.
x'v
sind die Koordinaten
des
Weltpunktes
im
neuen
System,
dessen Koordinaten im
ursprünglichen System
xv
sind.
Wie
für
die
Koordinaten
gilt
fur
jede
andere Größe
yf/
ein
Transformationsgesetz
vom
Typus
V
=
A\{/,
wobei sich
Ssfy
stets
durch
die
&x,
ausdrücken lassen muß. Aus
der
Kovarianteneigenschaft
der
guv
leitet
man
leicht
fur
die
guv
und
guv
die
Transformationsgesetze
ab:
3a«C
3 (Aa"r) 3
A#.
(11)
(12)
Da 9*
nur von
den
guv
und
guv
abhängt,
ist
es
mit
Hilfe
von (13)
und
(14)
möglich, A@*
zu
berechnen.
Man
erhält
so
die
Gleichung [8]
m
.
/
\
3
A«,
19*
(13)
wobei
zur Abkürzung
gesetzt
ist
S = 2dQ
g
+ 2dQg +
@s
-
dQg2.
(14)
Aus diesen beiden Gleichungen ziehen wir zwei fur das Folgende
wichtige Folgerungen.
Wir
wissen,
daB
@
eine Invariante
ist
be-
y-g
zuglich beliebiger Substitutionen,
nicht
aber
@*
Wohl
aber
ist
-.
V-g
es
leicht, von letzerer
GroBe
zu beweisen,
daB
sie bezuglich
linearer
Substitutionen der Koordinaten eine Invariante ist. Hieraus folgt,
daB
die rechte Seite von
(13)
stets verschwinden
muB,
wenn samtliche
d2Ax
verschwinden. Es folgt daraus,
daB
S*
der Identitat
S'
=
°
(15)
genügen
muß.
Wahlen wir
ferner
die
Axv
so,
daß sie
nur
im Innern
eines
be-
trachteten
Gebietes
von
null
verschieden
sind,
in
infinitesimaler
Nahe
[9]