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DOC. 42 SPECIAL
AND GENERAL
RELATIVITY
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wohnen. Auf
jedem
Stück ihrer
Welt,
das
nicht
allzu klein
ist,
können
sie sich
davon
überzeugen.
Sie ziehen
von einem
Punkt
nach
allen
Richtungen
"gerade
Strecken"
(dreidimen-
sional
beurteilt
Kreisbögen)
von
gleicher Länge.
Die
Ver-
bindung
der freien Enden
dieser
Strecken werden
sie als
"Kreis" bezeichnen.
Das
Verhältnis
des
mit
einem Stäbchen
gemessenen
Kreisumfanges zu
den
mit
demselben Stäbchen
gemessenen
Durchmesser
des Radius
ist nach der euklidischen
Geometrie in
der Ebene
gleich
einer
Konstanten
n, welche
unabhängig
ist
vom
Durchmesser
des
Kreises.
Unsere
Ge-
schöpfe
würden
für
dies
Verhältnis auf ihrer
Kugelfläche
den
Wert
finden, d. h. einen Wert,
der kleiner ist
als
n,
und
zwar um so
erheblicher,
je größer
der
Radius des
Kreises
im
Vergleich zum
Radius R der
"Kugelwelt"
ist.
Aus dieser
Beziehung
können
die
Kugelgeschöpfe
den Radius R
ihrer Welt
bestimmen,
auch
wenn
ihnen
nur
ein
relativ
geringer
Teil
ihrer
Kugelwelt
für
ihre
Messungen
zur Verfügung
steht. Ist aber dieser
Teil
allzu klein,
so
können
sie
nicht mehr
konstatieren,
daß
sie
sich
auf einer
Kugelwelt
und nicht auf
einer
euklidischen
Ebene
befinden;
ein kleines
Stück einer
Kugelfläche
unter-
scheidet
sich
wenig
von
einem
gleich
großen
Stück einer Ebene.
Wenn
also die
Kugelgeschöpfe
auf
einem
Planeten
wohnen,
dessen
Sonnensystem
nur
einen
verschwindend kleinen
Teil
der
Kugelwelt
einnimmt,
so
haben
sie keine
Möglichkeit,
darüber
zu
entscheiden, ob sie in einer
endlichen Welt
oder
einer unendlichen Welt
leben,
weil das
Stück
Welt,
was
ihrer
Erfahrung zugänglich
ist,
in
beiden
Fällen
praktisch
eben
bzw.
euklidisch ist.
Die
Anschauung zeigt unmittelbar,
daß für
unsere
Kugelgeschöpfe
der
Kreisumfang
mit
dem Radius
zu-
nächst
bis
zum "Weltumfang" wächst, um
dann
bei noch
weiter
wachsendem
Radius
allmählich
wieder bis
zu
null ab-
zunehmen.
Die Kreisfläche
wächst
dabei
immer
mehr,
bis
S~n
CR)