DOC. 42 SPECIAL AND GENERAL RELATIVITY
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sie
schließlich
gleich
wird
der
Gesamtfläche der
ganzen Kugel-
welt.
Vielleicht
wird sich
der
Leser
wundern,
daß
wir
unsere
Geschöpfe
gerade
auf
eine
Kugel
und nicht auf
eine
andere
geschlossene
Fläche
gesetzt
haben.
Aber
dies
hat
seine
Berechtigung,
weil die
Kugel
gegenüber
allen
anderen
ge- [77]
schlossenen
Flächen durch
die
Eigenschaft ausgezeichnet
ist,
daß all ihre Punkte
gleichwertig
sind.
Das
Verhältnis
des
Umfanges
u
eines Kreises
zu
seinem Radius
r
ist
zwar von
r
abhängig,
aber
bei
gegebenem
r
für
alle
Punkte der
Kugel-
welt das
gleiche;
die
Kugelwelt
ist
eine
"Fläche
konstanter
Krümmung".
Es
gibt
zu
dieser zweidimensionalen
Kugelwelt
ein drei-
dimensionales
Analogon,
den
dreidimensionalen
sphärischen
Raum, welcher
von
Riemann
entdeckt worden ist.
Seine
Punkte
sind ebenfalls alle
gleichwertig.
Er besitzt
ein
end-
liches
Volumen,
welches
durch
seinen
"Radius"
R
bestimmt
ist (2n2
R3).
Kann
man
sich einen
sphärischen
Raum
vor-
stellen
? Sich einen Raum vorstellen,
heißt nichts
anderes,
als
sich einen
Inbegriff
"räumlicher"
Erfahrungen
vorstellen,
d. h.
von
Erfahrungen,
die
man
beim
Bewegen
"starrer"
Körper
haben kann.
In diesem Sinne
ist
ein
sphärischer
Raum
vor-
stellbar.
Von einem
Punkte
aus
ziehen wir Gerade
(spannen
wir
Schnüre)
nach
allen
Richtungen
und
tragen
auf
jeder
derselben
die
Strecke
r
mit
dem
Maßstabe
auf. Alle
freien
Endpunkte
dieser
Strecken
liegen
auf
einer
Kugelfläche.
Die
Fläche
dieser
(F)
können
wir
mit
einem
Maßstabquadrat
besonders
ausmessen.
Ist
die
Welt
euklidisch,
so
ist F
=
rar2;
ist die
[78]
Welt
sphärisch, so
ist F stets kleiner
als
nr2.
F
wächst
mit
wachsendem
r
von
null
bis
zu
einem
durch
den
"Weltradius"
bestimmten
Maximum, um
bei
weiter wachsendem
Kugel-
radius
r
allmählich
wieder bis
zu
null
abzunehmen.
Die
vom
Ausgangspunkt ausgehenden
radialen
Geraden
entfernen
sich
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zunächst
immer
weiter
voneinander,
nähern
sich
später wieder,
um
schließlich im
"Gegenpunkte"
des
Ausgangspunktes
wieder
zusammenzulaufen;
sie
haben dann
den
ganzen
sphärischen