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DOC. 42 SPECIAL AND GENERAL RELATIVITY
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82
-
Die
durch
(8)
und
(9)
dargestellte
Lorentz-Transformation
bedarf
noch
der
Verallgemeinerung.
Es ist offenbar unwesent-
lich,
daß
die Achsen
von
K'
denen
von K
räumlich
parallel
gewählt
werden. Es ist auch
unwesentlich,
daß
die
Trans-
lationsgeschwindigkeit
von
K'
gegenüber
K die
Richtung
der
X-Achse
hat.
Man
kann
die
Lorentz-Transformation
in diesem
allgemeinen
Sinne
-
wie eine
einfache
Überlegung ergibt
-
zusammensetzen
aus
zweierlei
Transformationen,
nämlich
aus
Lorentz-Transformationen im
speziellen
Sinne
und
aus
rein
räumlichen
Transformationen,
welche
der
Ersetzung
des
rechtwinkligen Koordinatensystems
durch
ein
neues
mit anders
[82] gerichteten
Achsen
entspricht.
Mathematisch läßt
sich die
verallgemeinerte
Lorentz-
Transformation
so
charakterisieren:
Sie
drückt
x', y',
z',
t' durch
derartige
lineare
homogene
Funktionen
von
x, y,
z,
t
aus,
daß
die Relation
x'2+y'2+z'2-c2t'2=X2+y2+z2-c2t2...(11a)
identisch erfüllt
wird. Dies will
sagen:
Setzt
man
links
statt
x'
usw.
ihre Ausdrücke in
x, y, z,
t
ein, so
stimmt
die
linke Seite
von (11a)
mit der rechten überein.
Minkowskis
vierdimensionale Welt
(Ergänzung zu § 17).
Die
verallgemeinerte
Lorentz-Transformation läßt
sich
noch einfacher
charakterisieren,
wenn
man
statt
t als Zeit-
variable
die
imaginäre
V-
1
ct
einführt.
Setzt
man demgemäß
X1
=
x
x2
=
y
x3
=
z
x4
=
f~
'\
c t,
und
analog
für das
gestrichene System K', so
lautet
die
Bedingung,
welche
von
der Transformation identisch erfüllt
wird:
x1'2
+
x2'2
+
x3'2
+
x4'2
= x12
+
x22
+
x32
+
x42
. .
.
(12)
In diese
Gleichung geht
nämlich
(11a)
bei
der
angegebenen
Wahl der "Koordinaten" über.
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