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DOC.
43
COSMOLOGICAL
CONSIDERATIONS
Einstein:
Kosmologische Betrachtungen
zur
allgemeinen
Relativitatstheorie
151
müßten wir
wohl
schließen,
daß die Relativitatstheorie die
Hypothese
von
einer raumlichen Geschlossenheit
der Welt nicht
zulasse.
[14]
Das
Gleichungssystem
(14)
erlaubt
jedoch
eine
naheliegende,
mit
dem
Relativitatspostulat
vereinbare
Erweiterung,
welche
der
durch
Gleichung (2) gegebenen
Erweiterung
der
Poissonschen
Gleichung
voll-
kommen
analog
ist. Wir
können namlich
auf der
linken Seite
der
Feldgleichung (13)
den
mit
einer
vorlaufig
unbekannten universellen
Konstante -X
multiplizierten
Fundamentaltensor
guv
hinzufügen,
ohne
daß dadurch die
allgemeine
Kovarianz zerstört wird; wir setzen
an
die Stelle
der
Feldgleichung (13)
?».-*&.=
-
*{?.-
7Ļr)-
(13a)
Auch diese
Feldgleichung
ist bei
genügend
kleinem
A
mit den
am
Sonnensystem erlangten Erfahrungstatsachen jedenfalls
vereinbar.
Sie
befriedigt
auch
Erhaltungssätze
des
Impulses
und
der
Energie,
denn
man
gelangt
zu
(13a) an
Stelle
von
(13), wenn
man
statt des Skalars
des Riemannschen Tensors diesen
Skalar,
vermehrt
um
eine
universelle
Konstante,
in das
Hamiltonsche
Prinzip
einfuhrt,
welches
Prinzip
ja
die
Giltigkeit
von
Erhaltungssätzen gewährleistet.
DaB
die Feld-
gleichung (13a)
mit
unseren
Ansätzen über Feld
und
Materie vereinbar
ist,
wird im
folgenden gezeigt.
§
5.
Durchführung der
Rechnung. Ergebnis.
Da alle
Punkte
unseres
Kontinuums
gleichwertig
sind, genügt es,
die
Rechnung
fur
einen
Punkt
durchzuführen,
z.
B.
für
einen
der
beiden Punkte mit den Koordinaten
x1
=
x2
=
x3
=
x4
=
0.
Dann sind
fur die
guv
in
(13a)
die
Werte
-1
0
0
0
0 -1
0
0
0
0
-1
0
0 0 0
1
überall da
einzusetzen,
wo
sie
nur
einmal oder
gar
nicht
differenziert
erscheinen.
Man
erhält
also
zunächst
r
-
®
f^vl
.
3
WL
3d?t[iJ
"5^[aJ
^[3J^M
Mit
Rücksicht
auf
(7), (8)
und
(13)
findet
man
hieraus
leicht,
daß
samtlichen
Gleichungen
(13a)
Genüge geleistet
ist,
wenn
die beiden
Relationen
erfüllt
sind