DOC. 43
COSMOLOGICAL CONSIDERATIONS
549
150
Sitzung
der
physikalisch-matheinatischen
Klasse
vom
8. Februar
1917
mensionalen
Kontinuums können
wir
uns
der
Koordinaten
£1,
£2,
£3
bedienen
(Projektion
auf
die
Hyperebene
E4=0),
da
sich
vermöge
(10)
£4
durch
£1,
E2,
E3
ausdrücken läßt. Eliminiert
man
E4
aus
(9),
so
er-
hält
man
für das
Linienelement
des
sphärischen
Raumes
den Ausdruck
rfr» =
y"d£.d£,
-
-i
.
M.
J.
(11)
09
^09
R*-p*
wobei
guv
=
1, wenn
u
=
v,
guv
=
0,
wenn
u#v,
und
p2=E21+E32+E13
gesetzt
wird. Die
gewählten
Koordinaten sind
bequem,
wenn es
sich
um
die
Untersuchung
der
Umgebung
eines
der
beiden
Punkte
E2
=
E2
=
£3
=
0
handelt.
Nun ist
uns
auch das Linsenelement
der
gesuchten
raum-zeit-
[12]
lichen vierdimensionalen
Welt
gegeben.
Wir
haben offenbar
fur
die
Potentiale guv, deren
beide Indizes
von
4
abweichen,
zu
setzen
fts'
÷---
_ xx
__ Sr
`lip
_
(12)
welche
Gleichung
in
Verbindung
mit
(7)
und
(8)
das Verhalten
von
Maßstäben,
Uhren
und
Lichtstrahlen in
der
betrachteten vierdimen-
sionalen
Welt
vollständig
bestimmt.
§
4.
Über
ein
an
den Feldgleichungen der Gravitation
an-
zubringendes
Zusatzglied.
Die
von
mir
vorgeschlagenen
Feldgleichungen
der
Gravitation
läuten
fur
ein
beliebig gewähltes Koordinatensystem
*[T"
7~t)
8
{*:}-{"/}{
vß
*
3'
lg
^~9
3 lg
V-g
dxmdx,
|
*
f
fix.
(13)
Das
Gleichungssystem
(13)
ist
keineswegs erfüllt, wenn
man
fur
die
guv
die in
(7), (8)
und
(12)
gegebenen
Werte und fur
den
(kon-
travarianten)
Tensor
der
Energie
der
Materie die
in
(6)
angegebenen
Werte
einsetzt.
Wie
diese
Rechnung bequem
auszuführen
ist, wird
im
nächsten
Paragraphen
gezeigt
werden. Wenn
es
also sicher
ware,
daß die
von
mir
bisher benutzten
Feldgleichungen (13)
die
einzigen
mit
dem
Postulat
der
allgemeinen
Relativität
vereinbaren
wären,
so
[13]