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DOC. 47 JACOBI'S
THEOREM
606
Sitzung
der
physikalisch-mathematischen
Klasse
vom
22. November
1917
[1]
Eine
Ableitung
des Theorems
von Jacobi.
Von
A.
Einstein.
Bekanntlich
lassen sich die kanonischen
Gleichungen
der
Dynamik
ir=~!f
(1)
dq,
dt
__
3H
1K
(2)
wobei
H
im
allgemeinsten
Falle eine Funktion
der
Koordination
qi,
der
Impulse
pi
und
der
Zeit t ist, nach Hamilton-Jacobi dadurch inte-
grieren,
daß
man
eine
Funktion J der
qi
und der
Zeit t als
Lösung
der
partiellen Differentialgleichung
dJ
174-ff
=
°
(3)
bestimmt. Dabei
entsteht H
aus
H, indem
man
in
H
die
pi
durch
die
Ableitungen
dJ/dqi
ersetzt.
Ist J
ein
vollstandiges
Integral
dieser
Gleichungen
mit den
Integrationskonstanten
ar,
so
wird
das
System
(1),
(2)
der
kanonischen
Gleichungen allgemein
integriert
durch
die
Gleichungen
Ii-»
(4)
ax
=
ft-
(5)
Daß die
Erfüllung
von (3),
(4)
und
(5)
zur Folge
hat,
daß
den
kanonischen
Gleichungen
(1), (2)
Genuge
geleistet
wird,
wird in
allen
[2] eingehenderen
Lehrbuchern
der
Dynamik
durch
Rechnung
verifiziert.
Hingegen
ist mir kein
naturgemaBer, von
überraschenden
Kunstgriffen
freier
Weg
bekannt,
um
von
den kanonischen
Gleichungen
zu
dem
Hamilton-Jacobischen
System
(3), (4), (5)
zu
gelangen.
Ein
solcher
ist
im
folgenden gegeben.
Gebe ich
fur
eine bestimmte Zeit
t0
den
Koordinaten
q0i
und
die
zugehörigen Impulse
p0i
des
Systems,
so
ist
dessen
Bewegung
durch