DOC. 47 JACOBI’S THEOREM
573
Einstein: Eine
Ableitung
des Theorems
von
Jacobi
607
(1)
und
(2)
bestimmt. Ich stelle diese
Bewegung
dar als
Bewegung
eines
Punktes im n-dimensionalen Koordinatenraum
der
qi.
Denke ich
mir
zur
Zeit
t0
fur
alle
Punkte
(qi)
des Koordinatenraums die
Impulse
pi0
von
den
Gleichungen (1)
und
(2)
entsprechenden
Systemen
gegeben,
derart,
daß die
pi0
stetige
Funktionen
der
qi
sind,
so
ist
durch diese
Anfangsbedingung
die
Bewegung
all
dieser
Punkte
vermoge (1)
und
(2)
bestimmt.
Wir
nennen
den
Inbegriff
all
dieser
Bewegungen
ein
»Strömungsfeld«.
Statt
nun
dieses
Strömungsfeld
im Sinne
von
(1)
und
(2)
so
zu
beschreiben,
daß ich
Koordinaten
und
Impulse jedes Systempunktes
in
Funktion
der
Zeit
gegeben
denke,
kann
ich auch den durch die
pi
ge-
messenen Bewegungszustand an
jeder
Stelle
(qi)
als Funktion
der
Zeit t
gegeben
denken, so
daß die
qi
und t
als
unabhangige
Variable
anzu-
sehen sind. Beide
Darstellungsweisen
entsprechen
genau denjenigen
in der
Hydrodynamik,
welche den »Lagrangeschen« bzw. »Euler-
schen«
Bewegungsgleichungen
der
Flüssigkeiten zugrunde liegen.
Im Sinne
der
zweiten
Darstellungsweise
habe
ich die linke Seite
von (1)
durch
3p.
.
^
îp»
¿q.
dt
**
zu
ersetzen,
wofür
gemäß
(2)
^
3
H
3
Pt
gesetzt
werden kann. Es
gilt
also
gemaß (1)
das
Gleichungssystem
T7+1-"V----
3
Pi
dH dH
dp¡
q¡
(6)
Die
aH
-
aqi
und
aH
- api
sind bekannte Funktionen
der
qi,
der
pi
und der
Zeit
t. Es ist also
(6)
das
System
von
partiellen Differentialgleichungen,
denn die
Komponenten pi
des
Impulsvektors
des
Strömungsfeldes ge-
nügen.
Es
liegt
nun
die
Frage
nahe,
ob
es
Strömungsfelder gibt,
in
welchen
der
Impulsvektor
ein Potential
besitzt,
so
daß den
Bedingungen
genügt
ist
dp,
4^.0
Tqi
3
g,
(7)
3
J
Pt
-
3
g,
(7a)