APPENDIX
B
589
Hätten wir
anstatt
xv
andere
gestrichene
Koordinaten
x'v
eingeführt,
so
wird
ent-
sprechend
ds2=
Eg'uvdx'udx'v,
uv
wobei
die
g'uv
die
entsprechende Bedeutung
von
Komponenten
des
Gravitationspo-
tentiales
für das
gestrichene K.-System
haben. Der
Zusammenhang
zwischen
g'uv
and
guv
ist wie
folgt:
dxa
dxn
ßv
Zjdx'
dx'"gaß
tß
V-
v
(3)
wie
aus Eg'uvdx'udx'v
=
Eguvdxudxv
sich
ergibt.
Die Grösse
ds2
ist ein Ska-
lar,
d. h.
eine
von
der
Wahl
des
K.-Systems unabhängige
Grösse,
da wir
ja
ds
aus
ei-
nem
bestimmten
K.-System
x, y,
z,
t,
in welchem kein Gravitationsfeld vorhanden
ist,
entnommen
haben.
Wir nehmen
nun
verallgemeinerend
an,
dass
jedes
beliebiges
Gravitationsfeld
(al-
so
nicht
gerade
durch Koordinatentransformation
entstandenes)
durch
10
Funktionen
guv
charakterisiert
ist, derart,
dass
wenn man
ds2
=
Euvguvdxudxv
setzt,
die Bewe-
gungsgleichung
eines materiellen Punktes
in
diesem Gravitationsfelde nach
Gl.
(1)
geschieht.
Wir
zeigen nun,
dass
ds2
ein
Skalar
also
unabhängig
von
der
Wahl
des
Koordinatensystems
ist,
denn
erst
dann hat
es
einen Sinn die
Bewegungsgleichung
an
ds
anzuknüpfen.
Gehen wir nämlich
von
ein anderes
gestrichenes K.-System
mit dem
zugehörigen
Gravitationspotential (g'uv) aus,
so
ist wohl
anzunehmen,
dass die
g'uv
mit den
guv
so
Zusammenhängen,
wie in dem besondern
Falle,
dass das Gravitationsfeld bloss
durch Koordinatentransformation entstanden
ist,
also nach
(3)
g'uv=
Wdxklkeg
wsetgjw
Daraus
folgt,
dass (ds2)'=
Euvg'uvdx’udx'v=
Euvguvdxudxv=
ds2
und somit
ist
ds2
ein
Skalar.
Art und Weise der
Messung.
Unsere
verallgemeinerte
Koordinaten werden mit den mittelst Massstäben und Uhren
gewonnen Messergebnissen
nicht
so
einfach
zusammenhängen,
wie
in
der alten
Re-
lativitätstheorie. Schon
an
dem
Beispiele
der
gleichförmigen Beschleunigung
der
Raum-Koordinaten,
bei einem statischen
Gravitationsfelde,
sahen
wir,
dass die
Lichtgeschwindigkeit vom
Orte
abhängt.
Wenn
wir also eine Lichtuhr
an
einem
Orte