DOC.
9
FORMAL FOUNDATION OF
RELATIVITY
93
1050
Gesammtsitzung v.
19.
Nov. 1914.
-
Mitth. d.
phys.-math.
Cl.
v.
29. Oct.
von
A(v)u
und erhalten
so
einen Tensor
vom Range
l
+
1,
bei dessen
Bildung
der Index
v
bevorzugt
wurde.
Derartige
Tensoren lassen sich
l
bilden,
indem
man
der
Reihe nach die Indizes
v
= 1,
v =
2
... v
= 1
bei
der
Bildung bevorzugt.
Addiert
man
sie
alle,
so
erhält
man
den Tensor
(l+1)ten
Ranges
_ as
__
mI...tl
z[Im~'A
dip
I-
•1
(29)
Diese
von
Christoffel
gefundene
Formel liefert nach
obiger Bemerkung [18]
aus
jedem beliebigen
kovarianten Tensor
lten
Ranges
einen solchen
(l+1)ten
Ranges,
welchen wir dessen »Erweiterung«
nennen.
Auf
diese
Operation
lassen sich alle
Differentialoperationen
zurückführen.
Multipliziert man (29)
mit
ga1B1g2B2....ga1Bl
derart,
daß die Multi-
plikation bezüglich
der Indizes
at
eine
innere,
bezüglich
der
ß eine äußere
ist,
so
erhält
man
einen
Tensor,
der
bezüglich
Bx
...
ßl kontravariant,
bezüglich s
kovariant
ist.
Schreibt
man
schließlich wieder
et
statt
ß,
so
erhält
man
34d~mn
÷V
IlfllAii....a
±
. . •1•
(30)
a~.
[[Y;482;75;498;123]l'~f
Diesen Tensor kann
man
die Erweiterung
des kontravarianten
Tensors
nennen.
Ein Blick
auf
(29)
und
(30) zeigt,
daß
die
so
de-
finierte
Erweiterung
stets einen Index
von
kovariantem
Charakter liefert.
Es ist auch
leicht,
eine
allgemeine
Formel für die
Erweiterung
eines
gemischten
Tensors
anzugeben,
welche eine
Verschmelzung
der
Formeln
(29)
und
(30)
wäre.
Divergenz. Die
Erweiterung
eines
kontravarianten Tensors
vom
Range
l
ist ein
gemischter
Tensor
vom Range
l+1.
Man
kann
aus
ihm einen kontravarianten Tensor
vom
Range
l-1
bilden durch innere
Multiplikation
mit dem
gemischten
Fundamentaltensor
(10),
und
zwar
kann dies
auf l
verschiedene Arten
gemacht
werden. Man kann dem-
gemäß
l
im
allgemeinen
voneinander
verschiedene Divergenzen eines
kontravarianten Tensors
unterscheiden. Eine derselben lautet
-A" •«-*
=24"
(31) [19]
«Ii
Bei
symmetrischen
und
bei
antisymmetrischen
Tensoren ist das
Resultat
der
Divergenzbildung unabhängig
davon,
welcher
der
Indizes
av hierbei
bevorzugt
wird.
Einige
Hilfsformeln.
Bevor wir
die
abgeleiteten
Formeln
auf
Spezialfälle anwenden,
leiten wir
einige Differentialeigenschaften
des