DOC. 30 FOUNDATION OF GENERAL RELATIVITY
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A. Einstein.
einen Tensor. Das erste Glied
der rechten
Seite
von
(27)
kann
man
in
der Form
-J-(g,,agrPAe*')
-
gfta
QjT.?.
j
-
dxa'J
" "
dx"
“
d ge*
dx"
Auv
schreiben.
Ersetzt
man
gua
gvB
Auvo
durch
Aaaß, guagvß
Auv
durch
AaB
und
ersetzt
man
in dem
umgeformten
ersten Gliede
dg*ß
und
d
gva
dx0
vermittelst
(34),
so
entsteht
aus
der rechten
Seite
von
(27)
ein
siebengliedriger
Ausdruck,
von
dem sich
vier
Glieder
weg-
heben. Es
bleibt
übrig
(38)
+
")*’•
Es
ist
dies der Ausdruck
für
die
Erweiterung
eines
kontra-
varianten
Tensors
zweiten
Ranges,
der
sich
entsprechend
auch
für kontravariante
Tensoren höheren und
niedrigeren Ranges
bilden
läßt.
Wir
merken
an,
daß
sich
auf
analogem Wege
auch die
Erweiterung
eines
gemischten
Tensors
Aau.
bilden
läßt:
(39)
a:fi
a
4.
Durch
Verjüngung
von
(38)
bezüglich
der
Indizes
ß
und
a
(innere Multiplikation
mit
$aß)
erhält
man
den
kontravarianten
Vierervektor
Aa
d Aaß
dxß
+ Axß.
Wegen
der
Symmetrie von
{Bxa}
bezüglich
der
Indizes
ß
und
x
verschwindet das
dritte
Glied der
rechten
Seite,
falls
AaB
ein
antisymmetrischer
Tensor ist,
was
wir annehmen wollen; das
zweite
Glied
läßt
sich
gemäß (29a)
umformen. Man
erhält
also
(40)
j'.-L.'Wr''**.
'
V-9
dxß
Dies
ist der
Ausdruck
der
Divergenz
eines
kontravarianten
Sechservektors.
Divergenz
des
gemischten
Tensors
zweiten
Ranges.
Bilden
wir die
Verjüngung
von
(39)
bezüglich
der Indizes
a
und
a,
so
erhalten
wir
mit
Rücksicht auf
(29a)