312
DOC.
30
FOUNDATION
OF
GENERAL
RELATIVITY
Die
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie.
797
Divergenz
des
kontravarianten
Vierervektors.
Multipliziert
man (26)
mit
dem
kontravarianten
Fundamentaltensor
guv
(innere Multiplikation),
so
nimmt
die rechte
Seite nach Um-
formung
des
ersten
Gliedes zunächst die Form
an
«
A
Lg
°(^
+
dxy
^
/*
d
xr
2
"
\dxT d
xu
d
xa )
&
x
Das
letzte
Glied dieses Ausdruckes kann
gemäß
(31)
und
(29)
in die Form
1
d9x*
A
4-L
i£L
A
A
-
dV~9
g."
A
2
dxv
* *
dxu
*
y_g
dxa
S
gebracht
werden. Da
es
auf die
Benennung
der
Summations-
indizes
nicht
ankommt,
heben sich die beiden ersten
Glieder
dieses Ausdruckes
gegen
das zweite
des
obigen weg;
das letzte
läßt
sich
mit
dem ersten des
obigen
Ausdruckes
vereinigen.
Setzt
man
noch
gurAu
=
Ar,
wobei
Ar
ebenso wie
Au
ein frei wählbarer Vektor
ist,
so er-
hält
man
endlich
(35)
0=
i
V-9
d*v
Dieser Skalar
ist
die
Divergenz
des
kontravarianten
Vierer-
vektors
Ar.
"Rotation"
des
(kovarianten)
Vierervektors.
Das zweite
Glied
in
(26)
ist
in den Indizes
u
und
v
symmetrisch.
Es
ist
deshalb
Aur
-
Aru
ein besonders einfach
gebauter
(anti-
symmetrischer)
Tensor. Man
erhält
(36)
B
=
4--
-
4-
•
f*v
dxv
dXp
Antisymmetrische Erweiterung
eines
Sechservektors.
Wendet
man (27)
auf einen
antisymmetrischen
Tensor zweiten
Ranges
Aur
an,
bildet hierzu die beiden
durch
zyklische Vertauschung
der Indizes
u,
v,
a
entstehenden
Gleichungen
und
addiert
diese drei
Gleichungen,
so
erhält
man
den Tensor
dritten
Ranges
(37)
Bf"o =
4,™
+
^ra[x
+ +
"itf
+
'
von
welchem
leicht
zu
beweisen ist,
daß
er
antisymmetrisch
ist.
Divergenz
des
Sechservektors.
Multipliziert
man
(27)
mit
gua grß
(gemischte Multiplikation), so
erhält
man
ebenfalls
[18]
[19]
[20]