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DOC. 30 FOUNDATION
OF
GENERAL RELATIVITY
Die
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie. 799
(41)
V-
g
A,-
-{?}\~9
K
.
Führt
man
im
letzten
Gliede den kontravarianten
Tensor
Aqa
=
get
Aat ein,
so
nimmt
es
die
Form
an
-r;]v-
Ae\.
Ist ferner der
Tensor Aea
ein
symmetrischer,
so
reduziert
sich
dies auf
-1/2/-gdydxu
Aqa.
Hätte
man
statt
Aqa
den ebenfalls
symmetrischen
kovarianten
Tensor
Aqa = gqa
gaß
Aaß
eingeführt,
so
würde das letzte
Glied
vermöge
(31)
die
Form
2
'
^
d
xh
e®
annehmen. In
dem betrachteten
Symmetriefalle
kann
also
(41)
auch durch
die beiden Formen
(41a)
“ "
b
dx"
2
d
x..
'
J
und
(41b)
+
i.§ **"
à
x"
2
d
x"
i-gAae
ersetzt
werden, von
denen
wir
im
folgenden
Gebrauch
zu
machen
haben.
§
12. Der
Riemann-Christoffelsche
Tensor.
Wir
fragen
nun
nach
denjenigen
Tensoren,
welche
aus
dem Fundamentaltensor
der
guv
allein durch
Differentiation
gewonnen
werden
können.
Die Antwort scheint zunächst auf
der Hand
zu liegen.
Man setzt
in
(27)
statt
des
beliebig
ge-
gebenen
Tensors
Auv
den
Fundamentaltensor
der
guv
ein und
erhält dadurch
einen
neuen
Tensor,
nämlich die
Erweiterung
des
Fundamentaltensors.
Man
überzeugt
sich
jedoch leicht,
daß diese
letztere identisch
verschwindet. Man
gelangt
jedoch
auf
folgendem Wege zum
Ziel.
Man setze
in
(27)
Auv =
dAu/dxv
-
{uv/.q}Ae,