DOC.
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VARIATIONAL PRINCIPLE
341
|
=
Ö
+ 9JJ
...(48)
(77)
darstellen
lasse,
derart,
dass
0
nur
von
den
guv
und
guvo,
W
nur
von
den
guv,
q(p)
und den
Ableitungen
q(p)a =
dq(p)/dxa
etc.
der
q(p)
abhänge.
Man
erhält
dann
aus
(47)
durch Varierien nach den
guv
die
Gleichungen
d/dxa(dM/dguvo)-dQ/dguv=dM/dguv,
...(49)
(78)
durch Varieren
nach den
q(p)
die
Gleichungen
d/dxa(dM/dq(p)o)-dM/dq(p)
...(50)
(79) [p.
2]
Die
Gleichungen
(49)
(78)
nennen
wir die
Feldgleichungen
der Gravita-
tion,
die
Gleichungen
(50)
(79)
die
Feldgleichungen
der Materie.
Die
Glei-
chungen (50) setzen voraus,
dass
M
nur
von
den
ersten Ableitungen
der
q(p)
nach den Koordinaten
abhänge;
kommen auch höhere
Ableitungen
der
q(p)
in
m
vor, so
treten
weitere Glieder
in
(50)
(79)
auf.
Unsere
nachfolgenden
Überlegungen gelten
jedoch unabhängig
hievon.
§2.
Formale
Konsequenzen
aus
der
Forderung
der
allgemeinen
Kovarianz.
Wir
stellen
nun
die
dem
allgemeinen Relativitätspostulat
entsprechende
Forderung
auf:
Die
Bedingung (76)
und damit auch das
aus
(78)
und
(79)
be-
stehende
Gleichungssystem
soll
beliebigen
Substitutionen der Raum-Zeit-
Koordinaten
gegenüber
kovariant
sein.
Diese
Forderung
lässt sich
wegen
der
Invarianz
von
J-gdx dadurch
erfüllen,
dass
man
S/V-g
gleich
einer Invarian-
ten setzt;[4]
dann ist nämlich
das
auf der linken Seite
von
(76)
stehende Inte-
gral,
und damit auch dessen
Variation eine Invariante.
Damit
jedoch
die Glei-
chung
(76)
invariante
Bedeutung
erhalte,
ist nicht
unbedingt nötig,
dass
S/V-g
eine Invariante
sei;
wir
gehen
vielmehr
wie
folgt
vor.