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DOC.
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VARIATIONAL PRINCIPLE
Es
sei zunächst
M/V-g
eine Invariante. Für
die Wahl
von
©
dient
folgende
Er-
wägung.
Aus dem
in
Gleichung (43)
gegebenen
Riemann'schen
Tensor[5]
lässt sich die Invariante
a
T~LV ___ ___1Ita
K=IVB=g
ax1~
j
axjMVi
J
I
at H
"ti
.
(80)
bilden.
Die
Mathematiker haben
bewiesen,
dass dies die
einzige
Invariante
ist,
welche
aus
dem
guv
und den
ersten
und zweiten
Ableitungen
der
guv
nach den
Koordinaten
gebildet
werden
kann,
und welche
in
den zweiten
Ab-
leitungen
der
guv
linear
ist.
Es
läge
nahe,
als Hamilton'sche Funktion
0
für
das Gravitationsfeld
(bis
auf einen konstanten
Faktor)
die Funktion
KV-g
zu
wahlen, da bei
dieser
Wahl
die Invarianz
des
in
(76)
auftretenden
Integrals
erzielt
wäre.[6]
Diese
Wahl
hätte aber den formalen
Nachteil,
dass
©
auch
von
den zweiten
Ableitungen
der
guv
nach
den
Koordinaten
abhinge,
was
wir
vermeiden wollen.
Das
Integral
jK-gdx
[p.
3]
lässt sich nach
(80)
als Summe
von
vier
Integralen
schreiben,
von
denen die
beiden
ersten
sich durch
partielle Integration
umformen lassen. Man erhält
unter Verwendung
der
Gleichungen (29a)
und
(31)
-^Kj^gdx
=
J©Jx
+
F,
...(81)
wobei
gesetzt
ist
c
=
k/dsg
sgagshgwerhFB
...(82)
K
bedeutet eine
Konstante,
F ein über
die
Begrenzung
des betrachteten vier-
dimensionalen Gebietes erstrecktes
Integral,
dessen
Integrand
eine Funktion
der
guv
und
guv
ist.
Durch diese
Wahl
von
M[7]
wird
zwar
nicht
die
Invarianz
des
Integrales
jedx