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DOC.
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HAMILTON'S PRINCIPLE
Einstein: Hamiltonsches
Prinzip
und
allgemeine
Relativitätstheorie
1115
der
Begrenzung
aber
verschwinden,
so
ändert
sich der
Wert
des in
Gleichung
(2)
auftretenden,
über die
Begrenzung
erstreckten
Integrales
nicht bei der ins
Auge
gefaßten
Transformation;
es
ist
also
A(F)
= 0
und
somit1
{jwj=4f
#•.*}.
Die linke
Seite der
Gleichung
muß
aber
verschwinden,
da
sowohl
wie
/-gdr
Invarianten sind.
Folglich
verschwindet auch die
[10]
rechte Seite.
Wir erhalten also mit Rücksicht
auf
(14),
(15)
und
(16)
zunächst die
Gleichung
3®*
"
d*Ax,
W9
(16)
Formt
man
diese
durch
zweimalige partielle Integration um, so
erhält
man
mit Rücksicht
auf
die freie
Wählbarkeit der
Axr
die
Identität
3"
/
3®*
\
=
0.
(17)
[11]
Aus den beiden
Identitäten
(16)
und
(17),
welche
aus
der
Invarianz
von
®/V-g,
also
aus
dem
Postulat der
allgemeinen
Relativität her-
vorgehen,
haben wir
nun
Folgerungen
zu
ziehen.
Die
Feldgleichungen
(7)
der
Gravitation formen wir zunächst
durch
gemischte Multiplikation
mit
guv
um.
Man
erhält dann
(unter
Ver-
tauschung
der Indizes
r
und
v)
die den
Feldgleichungen (7) aquiva-
lenten
Gleichungen
d(d@*g)
=
-(&
+
&),
(18)
wobei
gesetzt
ist
=- (19)
tv
=
-(d@g
+ d@g) =
1/2(@-d@g). (20)
Der letzte Ausdruck fur
tvo
rechtfertigt
sich
aus (14)
und
(15).
Durch
Differenzieren
von (18)
nach
xv
und
Summation
uber
v
folgt
mit
Rüek-
sicht
auf
(17)
"3aT
+
®
~
0'
(21)
1
Indem wir statt
£
und $* die Größen
&
und $*
einfuhren.
92*