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COSMOLOGICAL
CONSIDERATIONS
Einstein:
Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen
Relativitatstheorie
145
schließlich,
daß
Grenzbedingungen
im räumlich
Unendlichen
überhaupt
entfallen,
da das Weltkontinuum
bezüglich
seiner räumlichen Erstreckun-
gen
als ein in sich
geschlossenes von
endlichem,
räumlichem
(dreidi-
mensionalem)
Volumen aufzufassen
ist.
Meine
bis
vor
kurzem
gehegte Meinung
über die im räumlich
Un-
endlichen
zu
setzenden
Grenzbedingungen
fußte
auf
folgenden
Über-
legungen.
In
einer
konsequenten
Relativitätstheorie kann
es
keine
Träg-
heit
gegenüber
dem »Raume«
geben,
sondern
nur
eine
Trägheit
[6]
der
Massen gegeneinander. Wenn ich
daher eine
Masse
von
allen
anderen
Massen
der Welt
räumlich
genügend
entferne,
so
muß ihre
Trägheit zu
Null
herabsinken.
Wir
suchen diese
Bedingung
mathe-
matisch
zu
formulieren.
Nach der
allgemeinen
Relativitätstheorie ist
der
(negative) Impuls
durch die drei
ersten
Komponenten,
die
Energie
durch die letzte Kom-
ponente
des mit
V-g
multiplizierten
kovarianten Tensors
(4)
gegeben,
wobei
wie
stets
ds2
=
guvdxudxv (5)
gesetzt
ist. In dem besonders übersichtlichen
Falle,
daß das
Koor-
dinatensystem
so
gewählt
werden
kann,
daß
das Gravitationsfeld in
jedem
Punkte
räumlich
isotrop
ist,
hat
man
einfacher
ds2
=
-A
(dx21+dx22+dx23)+Bdx24.
Ist
gleichzeitig
noch
V-g
= 1
=
VT'B,
so
erhält
man
für
kleine
Geschwindigkeiten
in
erster
Näherung
aus
(4)
für
die
Impulskomponenten
A
dxt A
dx9
A
dx%
m
-7="
m-=--
VB
dx4
VB
dxt VB
dx4
und fur die
Energie (im
Fall der
Ruhe)
mVB.
A
Aus den Ausdrücken des
Impulses
folgt,
daß
m
A/VB
die Rolle der
VB
tragen
Masse
spielt.
Da
m
eine
dem
Massenpunkt
unabhängig von
seiner
Lage eigentümliche
Konstante
ist, so
kann
dieser Ausdruck
unter
Wahrung
der
Determinantenbedingung
im
räumlich Unendlichen
nur
dann
verschwinden,
wenn
A
zu
null
herabsinkt, während
B
ins