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DOC. 45 QUANTUM
THEOREM
84 A.
Einstein,
[Nr.
9/10.
Bei den
großen
Erfolgen,
welche die
Sommerfeld-Epstein-
sche
Erweiterung
des
Quantensatzes
auf
Systeme
von
mehreren
Freiheitsgraden
mit
sich gebracht
hat, bleibt
es
doch unbefrie-
digend,
daß
man
auf eine
Separation
der Variabeln
gemäß
8)
angewiesen
ist,
welche wohl
an
sich mit dem
Quantenproblem
nichts
zu
schaffen
hat.
Im
folgenden
soll eine
kleine Modifikation
der
Sommerfeld-Epsteinschen
Bedingung vorgeschlagen
werden,
welche diesen
Ubelstand
vermeidet. Ich will den
Grundgedanken
[6]
hier kurz andeuten und dann
im
folgenden
näher
ausführen.
§
2.
Abgeänderte
Formulierung. Während pdq bei
Systemen
von
einem
Freiheitsgrad
eine
Invariante,
d.h.
von
der
Wahl der Koordinate
q
unabhängig
ist,
sind die einzelnen Pro-
dukte
pidqi
bei einem
System
von
mehreren
Freiheitsgraden
keine
Invarianten; deshalb
kommt
der
Quantenbedingung
2)
keine
invariante
Bedeutung
zu.
Invariant ist
nur
die über alle
l
Frei-
heitsgrade
erstreckte Summe
Sipidqi.
Um
nun aus
dieser Summe
eine Mehrzahl
von
invarianten
Quantenbedingungen herzuleiten,
kann
man
folgendermaßen vorgehen.
Man
betrachte
die
pi
als
Funktionen der
qi.
Geometrisch
gesprochen
kann
man
dann
pi
als einen
Vektor
("kovarianten"
Charakters)
in dem l-dimensio-
nalen Raume
der
qi
betrachten. Ziehe ich im Raume der
qi
irgendeine geschlossene Kurve,
welche durchaus keine
"Bahnkurve"
des mechanischen
Systems
zu
sein
braucht,
so
ist
das über
die-
selbe erstreckte
Linienintegral
JIpidqi
9)
eine Invariante. Sind die
pi irgendwelche
Funktionen
der qi,
so
gehört
zu
jeder
geschlossenen
Kurve im
allgemeinen
ein anderer
Wert des
Integrals
9).
Ist aber
der Vektor
pi
von
einem Potential
J*
ableitbar,
d.h.
gelten
die Relationen
dpi
dpk
bzw.
d
qk
d
qi
0
10)
Pi
dJ*
dqi
10a)
so
hat
das
Integral
9)
für
alle
geschlossenen
Kurven,
welche
stetig
ineinander
übergeführt
werden
können,
denselben Wert.
Für
alle
Kurven,
welche durch
stetige
Änderung
in
einen
Punkt