DOC.
30 FOUNDATION OF
GENERAL
RELATIVITY 299
784 A. Einstein.
antisymmetrisch,
wenn
zwei
Komponenten,
die durch
Ver-
tauschung
irgend
zweier
Indizes
auseinander
hervorgehen,
entgegengesetzt gleich
sind.
Der
Tensor Auv
bzw.
Auv
ist
also
antisymmetrisch,
wenn
stets
(15)
Auv
=
-
Avu,
bzw.
(15a)
Auv
=
-
Auv
ist.
Von
den
16
Komponenten
Auv
verschwinden die
vier
Komponenten
Auu;
die
übrigen
sind
paarweise
entgegengesetzt
gleich, so
daß
nur
6
numerisch
verschiedene
Komponenten
vorhanden sind
(Sechservektor).
Ebenso sieht
man,
daß der
antisymmetrische
Tensor
Auva (dritten
Ranges)
nur
vier
nume-
risch
verschiedene
Komponenten
hat, der
antisymmetrische
Tensor
Auvor
nur
eine
einzige.
Symmetrische
Tensoren
höheren
als vierten
Ranges
gibt es
in
einem
Kontinuum
von
vier
Dimen-
sionen
nicht.
§
7.
Multiplikation der Tensoren.
Äußere Multiplikation
der
Tensoren. Man
erhält
aus
den
Komponenten
eines
Tensors
vom
Range
z
und
eines
solchen
vom
Range
z' die
Komponenten
eines
Tensors
vom
Range
z
+
z',
indem
man
alle
Komponenten
des
ersten
mit
allen
Komponenten
des zweiten
paarweise multipliziert.
So
ent-
stehen
beispielsweise
die Tensoren
T
aus
den Tensoren
A
und
B
verschiedener Art
T
=
A
B
fiva ftr
a7,
Jlaßyi
Jaß
ßyi5,
Tysaß
=
Aaß
Byß.
Der
Beweis des Tensorcharakters der T
ergibt
sich
un-
mittelbar
aus
den
Darstellungen
(8), (10), (12)
oder
aus
den
Transformationsregeln
(9), (11),
(13). Die Gleichungen
(8),
(10), (12)
sind selbst
Beispiele
äußerer
Multiplikation
(von
Tenören ersten
Ranges).
"Verjüngung"
eines
gemischten
Tensors.
Aus
jedem
ge-
mischten Tensor kann ein Tensor
von
einem
um
zwei
kleineren
Range
gebildet
werden,
indem
man
einen
Index
kovarianten
und
einen Index
kontravarianten
Charakters
gleichsetzt
und