298
DOC.
30
FOUNDATION
OF GENERAL RELATIVITY
Die
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie.
783
Durch dieses
Transformationsgesetz
wird der
kovariante
Tensor zweiten
Ranges
definiert.
Alle
Bemerkungen,
welche
vorher
über
die
kontravarianten
Tensoren
gemacht
wurden,
gelten
auch für
die
kovarianten
Tensoren.
Bemerkung.
Es
ist
bequem,
den Skalar
(Invariante)
so-
wohl
als kontravarianten
wie
als
kovarianten
Tensor
vom
Range
Null
zu
behandeln.
Gemischter
Tensor. Man
kann
auch einen Tensor
zweiten
Ranges vom
Typus
(12)
Auv=
Au
Bv
definieren,
der
bezüglich
des
Index
u
kovariant,
bezüglich
des
Index
v
kontravariant ist.
Sein
Transformationsgesetz
ist
(13)
dxß
dxa
Natürlich
gibt
es gemischte
Tensoren
mit
beliebig
vielen
Indizes
kovarianten
und
beliebig
vielen Indizes
kontravarianten
Charakters.
Der
kovariante
und der
kontravariante
Tensor
können als
spezielle
Fälle
des
gemischten angesehen
werden.
Symmetrische
Tensoren.
Ein kontravarianter
bzw. ko-
varianter
Tensor zweiten oder höheren
Ranges
heißt
sym-
metrisch,
wenn
zwei
Komponenten,
die
durch
Vertauschung
irgend
zweier Indizes
auseinander
hervorgehen, gleich
sind.
Der Tensor
Auv
bzw.
Auv
ist
also
symmetrisch,
wenn
für
jede
Kombination
der Indizes
(14)
Auv = Avu,
bzw.
(14a)
Aur
=
Aru,
ist.
Es muß bewiesen
werden,
daß
die
so
definierte
Symmetrie
eine
vom
Bezugssystem unabhängige Eigenschaft
ist.
(Aus (9)
folgt
in
der Tat
mit Rücksicht
auf
(14)
A**Arß
=
A»
=
öXp
dxv
dXp
dxv
dx^
dxv
Die vorletzte
Gleichsetzung
beruht auf
der
Vertauschung
der
Summationsindizes
u
und
v (d.
h.
auf bloßer
Änderung
der
Bezeichnungsweise).
Antisymmetrische
Tensoren.
Ein kontravarianter
bzw.
ko-
varianter
Tenor
zweiten,
dritten
oder vierten
Ranges
heißt