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DOC.
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FOUNDATION
OF
GENERAL RELATIVITY
Die
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie.
785
nach
diesem
Index summiert
("Verjüngung").
Man
gewinnt
so z.
B.
aus
dem
gemischten
Tensor
vierten
Ranges
Ara6ß
den
gemischten
Tensor zweiten
Ranges
A6
4o6f __
a
und
aus
diesem,
abermals durch
Verjüngung,
der Tensor
nullten
Ranges
A
=
Aßß
=
Aaaßß.
Der Beweis
dafür,
daß
das
Ergebnis
der
Verjüngung
wirk-
lich
Tensorcharakter
besitzt,
ergibt
sich entweder
aus
der
Tensordarstellung
gemäß
der
Verallgemeinerung
von (12)
in
Verbindung
mit
(6)
oder
aus
der
Verallgemeinerung von
(13).
Innere
und
gemischte
Multiplikation
der Tensoren. Diese
bestehen in der
Kombination
der äußeren
Multiplikation
mit
der
Verjüngung.
Beispiele.
-
Aus dem
kovarianten
Tensor zweiten
Ranges
Auv
und dem
kontravarianten
Tensor ersten
Ranges
Ba
bilden
wir
durch
äußere
Multiplikation
den
gemischten
Tensor
D°
=
A
Ba.
uv
uv
Durch
Verjüngung
nach den Indizes
v, o
entsteht
der
ko-
variante Vierervektor
B'
44
-8'.
p
1" Pt.
Diesen bezeichnen wir auch als inneres
Produkt
der Tensoren
Auv
und B°.
Analog
bildet
man
aus
den Tensoren
Auv
und
Bar
durch äußere
Multiplikation
und
zweimalige Verjüngung
das
innere Produkt
Auv
Buv.
Durch äußere
Produktbildung
und
einmalige Verjüngung
erhält
man aus
Auv
und
Bar
den
gemischten
Tensor zweiten
Ranges
Dr
=
Aur
Bvr. Man kann
diese
Operation passend
als eine
gemischte
bezeichnen;
denn
sie
ist
eine äußere
bezüglich
der Indizes
u
und
r,
eine innere
bezüglich
der Indizes
v
und
a.
Wir beweisen
nun
einen
Satz,
der
zum
Nachweis des
Tensorcharakters
oft verwendbar
ist.
Nach dem soeben Dar-
gelegten
ist
Auy
Bur ein
Skalar,
wenn
Auv
und
Bax
Tensoren
sind.
Wir
behaupten
aber
auch
folgendes.
Wenn
Auv
Buv
für
jede
Wahl
des
Tensors
Buv
eine
Invariante
ist,
so
hat
Auv
Tensor-
charakter.
Beweis.
-
Es
ist nach
Voraussetzung
für eine
beliebige
Substitution
A ,
B,
=
Bltt.
Annalen der
Physik.
IV.
Folge. 49.
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