DOC.
30 FOUNDATION
OF
GENERAL
RELATIVITY
301
786 A. Einstein.
Nach der
Umkehrung von
(9)
ist
aber
_
Os0
Ox,
Ox0'
8;'
Dies,
eingesetzt
in
obige Gleichung,
liefert:
Li
`
_
ôxp
Ox,
_
k
or
ox; ox;
A,~,) .Bo?
0.
Dies kann bei
beliebiger
Wahl
von
Bat'
nur
dann erfüllt
sein,
wenn
die
Klammer
verschwindet,
woraus
mit
Rück-
sicht auf
(11)
die
Behauptung
folgt.
Dieser Satz
gilt
entsprechend
für Tensoren
beliebigen
Ranges
und
Charakters;
der
Beweis
ist stets
analog zu führen.
Der Satz
läßt
sich ebenso beweisen in der Form:
Sind
Bu und
Cv beliebige
Vektoren,
und
ist
bei
jeder Wahl der-
selben
das
innere
Produkt
Auv
BuCv
ein
Skalar,
so
ist
Auv
ein
kovarianter
Tensor.
Dieser
letztere
Satz
gilt
auch
dann
noch,
wenn nur
die
speziellere
Aussage
zutrifft,
daß
bei
beliebiger
Wahl des
Vierervektors
Bu das
skalare
Produkt
Auv
Bu
Bv
ein Skalar ist, falls
man
außerdem
weiß,
daß
Auv
der
Sym-
metriebedingung
Auv = Avu
genügt.
Denn auf dem
vorhin
angegebenen Wege
beweist
man
den Tensorcharakter
von
(Auv
+
Avu),
woraus
dann
wegen
der
Symmetrieeigenschaft
der Tensorcharakter
von
Auv
selbst
folgt.
Auch
dieser Satz
läßt
sich leicht
verallgemeinern
auf den Fall
kovarianter und
kontravarianter
Tensoren
beliebigen Ranges.
Endlich
folgt
aus
dem Bewiesenen der ebenfalls
auf
be-
liebige
Tensoren
zu
verallgemeinernde
Satz: Wenn
die Größen
Auv Bv
bei
beliebiger
Wahl des Vierervektors
Bv
einen
Tensor
ersten
Ranges
bilden,
so
ist
Auv
ein
Tensor zweiten
Ranges.
Ist
nämlich
Cu
ein
beliebiger Vierervektor,
so
ist
wegen
des
Tensorcharakters
Auv
Bv
das innere
Produkt
Auv
Cu
Bv
bei
beliebiger
Wahl der beiden Vierervektoren
Cu
und
Bv
ein
Skalar,
woraus
die
Behauptung
folgt.
§
8.
Einiges
über
den Fundamentaltensor der
guv.
Der kovariante Fundamentaltensor.
In
dem
invarianten
Ausdruck des
Quadrates
des
Linienelementes
ds2
=
guvdxudxr